1熊本大学 2008年 数学 第1問解答・解説

f(x)=4x^2+3、接点 $p$ の接線は $y=8px-4p^2+3$。$x$ 切片 $q$ より $\displaystyle q=\frac p2-\frac{3}{8p}$。接点 $q$ の接線が $P(p,0)$ を通る条件と最初の式の差から $q^2=p^2$。$q=p$ は元式と矛盾し、$q=-p$ から $\displaystyle p^2=\frac14$、従って点は $\displaystyle (\frac12,-\frac12),\ (-\frac12,\frac12)$。(3) 左右対称な接線と放物線間の面積は $\displaystyle 4\int_0^{1/2}(x-\frac12)^2\,dx$ を2区間分足し $\displaystyle \frac13$。

原文p.2大問1(1)–(3)とp.1を視認。接線 $\ell$ の $x$ 切片 $\displaystyle q=\frac p2-\frac{3}{8p}$。接線 $m$ が $P$ を通る条件を比較して $q=\pm p$、$q=p$ は不可、$q=-p$ で $\displaystyle p=\pm\frac12$。接線と放物線の差は平方で表せるため、囲まれた面積を左右の区間で積分し $\displaystyle \frac13$。旧A212と一致。