I鳥取大学 2003年 数学 第I問解答・解説

1から9までの数字から重複なく3個を選ぶ方法は $$\displaystyle \binom93=84$$ 通りであり、全て同様に確からしい。最大値が $m$ となるには $m$ を選び、残り2個を $1,2,\ldots,m-1$ から選べばよい。従って $m=3,4,\ldots,9$ に対して $$\displaystyle P(X=m)=\frac{\binom{m-1}{2}}{84}.$$

(1) $\displaystyle P(X=3)=\frac{\binom22}{84}=\frac1{84}$.

(2) $\displaystyle P(X=4)=\frac{\binom32}{84}=\frac1{28}$.

(3) $$\displaystyle \begin{aligned} P(X=5)&=\frac{\binom42}{84}=\frac1{14},& P(X=6)&=\frac{\binom52}{84}=\frac5{42},\\ P(X=7)&=\frac{\binom62}{84}=\frac5{28},& P(X=8)&=\frac{\binom72}{84}=\frac14,\\ P(X=9)&=\frac{\binom82}{84}=\frac13. \end{aligned}$$

(4) $$\displaystyle \begin{aligned} E(X)&=\sum\limits _{m=3}^9mP(X=m)\\ &=\frac{3\cdot1+4\cdot3+5\cdot6+6\cdot10+7\cdot15+8\cdot21+9\cdot28}{84}\\ &=\frac{630}{84}=\frac{15}{2}. \end{aligned}$$