4東京大学 2003年 数学 第4問解答・解説

方程式を平方完成すると $(x-2)^2=5$ である。したがって $\alpha=2+\sqrt5,\ \beta=2-\sqrt5$ であり、$\alpha+\beta=4,\ \alpha\beta=-1$ となる。

根 $r=\alpha,\beta$ は $r^2=4r+1$ を満たす。$n\geq3$ ではこれに $r^{n-2}$ を掛けて $r^n=4r^{n-1}+r^{n-2}$ を得る。両根について加えると $s_n=4s_{n-1}+s_{n-2}$ である。また、 $$s_1=\alpha+\beta=4,\qquad s_2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=18,\qquad s_3=4s_2+s_1=76.$$

$2<\sqrt5<3$ より $-1<\beta=2-\sqrt5<0$。したがって $-1<\beta^3<0$ であり、$\beta^3$ 以下の最大の整数は $-1$ である。

漸化式と初期値から各 $s_n$ は整数である。2003は奇数で、$-1<\beta<0$ だから $-1<\beta^{2003}<0$。よって $\alpha^{2003}=s_{2003}-\beta^{2003}$ は整数 $s_{2003}$ より大きく $s_{2003}+1$ より小さいので、$\lfloor\alpha^{2003}\rfloor=s_{2003}$。

漸化式を10を法として使うと、 $$s_1,\ldots,s_6\equiv4,8,6,2,4,8\pmod{10}.$$ 特に $(s_5,s_6)\equiv(s_1,s_2)\pmod{10}$。同じ2項漸化式に従うため、以後4項ごとに同じ余りが繰り返される。$2003\equiv3\pmod4$ なので $s_{2003}\equiv s_3\equiv6\pmod{10}$。したがって求める1の位は6である。