3東京大学 2003年 数学 第3問解答・解説

(1) 高さ$z=t$での円錐の断面は、相似比1−tより中心(0,0)、半径$R=2(1-t)$の円である。$t=1-\cos\theta$と置くと$R=2\cos\theta$。円柱の断面は中心(1,0)、半径1の円である。

交点(x,y)は $x^2+y^2=R^2$, $(x-1)^2+y^2=1$ を満たす。差を取ると共通弦は$\displaystyle x=x_0=\frac{R^2}{2}=2\cos^2\theta$にある。円錐側でこの弦が張る半角をαとすると $\displaystyle \cos\alpha=\frac{x_0}{R}=\cos\theta$ より$\alpha=\theta$。円柱側で重なりを含む左側の半角をβとすると $\cos\beta=1-x_0=1-2\cos^2\theta=-\cos2\theta=\cos(\pi-2\theta)$ より$\beta=\pi-2\theta$である。範囲からα,βはそれぞれ0からπ/2、πから0へ動く。

半径r、半角φの円弧部分の面積は、扇形から二等辺三角形を引いて $\displaystyle r^2\phi-\frac12r^2\sin2\phi=r^2(\phi-\sin\phi\cos\phi)$。$\displaystyle \phi>\frac\pi2$でも、円全体から反対側の小さい円弧部分を引くと同じ式になる。したがって共通部分は2つの円弧部分の和であり、 $S(t)=R^2(\theta-\sin\theta\cos\theta)+(\beta-\sin\beta\cos\beta)$ $=4\theta\cos^2\theta-2\cos^2\theta\sin2\theta+\pi-2\theta+\sin2\theta\cos2\theta$ $=\pi+2\theta\cos2\theta-\sin2\theta$. 最後は$2\cos^2\theta=1+\cos2\theta$を用いた。端点$\displaystyle \theta=0,\frac\pi2$でも断面積はそれぞれπ,0となり、式と一致する。

(2) $t=1-\cos\theta\text{ より }dt=\sin\theta\,d\theta$、積分範囲は$\displaystyle \theta=0\text{ から }\frac\pi2$。積和公式から $2\cos2\theta\sin\theta=\sin3\theta-\sin\theta$、$\displaystyle \sin2\theta\sin\theta=\frac{\cos\theta-\cos3\theta}{2}$ なので、 $\displaystyle \int_0^1 S(t)\,dt=\pi+\int_0^{\pi/2}\theta(\sin3\theta-\sin\theta)\,d\theta-\frac12\int_0^{\pi/2}(\cos\theta-\cos3\theta)\,d\theta$. 部分積分で $\displaystyle \int_0^{\pi/2}\theta\sin3\theta\,d\theta=-\frac19$、$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\theta\sin\theta\,d\theta=1$。最後の項は $\displaystyle \frac12\left[\sin\theta-\frac13\sin3\theta\right]_0^{\pi/2}=\frac23$。ゆえに体積は$\displaystyle \pi-\frac19-1-\frac23=\pi-\frac{16}{9}$。