9愛媛大学 2016年 数学 第9問解答・解説

$f(x)=xe^{-x}$、$L=\log a>0$ とする。

(1) $f'(x)=(1-x)e^{-x}$ であり、$e^{-x}>0$ だから $x<1$ で増加、$x>1$ で減少する。$f(1)=1/e$ より $x=1$ で極大値 $1/e$ をとる。$f(0)=0$、$x\to-\infty$ で $f(x)\to-\infty$、$x\to\infty$ で $f(x)\to0$ なので、グラフは原点から上昇して $(1,1/e)$ で最大となり、右側では $x$ 軸の上から0に近づく。

(2) 平行移動後の曲線は $y=f(x-L)=a(x-L)e^{-x}$。交点で $xe^{-x}=a(x-L)e^{-x}$ なので $$\displaystyle x_0=\frac{aL}{a-1}=\frac{a\log a}{a-1}.$$ 一次方程式なので交点はこれ一つである。

(3) $A=(L,0)$。$0\le x\le L$ の範囲では $C_1$ と $x$ 軸の間、$L\le x\le x_0$ の範囲では $C_1$ と $C_2$ の間が囲まれた部分である。後者では $$f(x)-f(x-L)=e^{-x}\{(1-a)x+aL\}\ge0$$ で、括弧内は $x_0$ で0となる。したがって $$\displaystyle S=\int_0^L xe^{-x}\,dx+\int_L^{x_0}\{xe^{-x}-(x-L)e^{-(x-L)}\}\,dx.$$ $u=x-L$ と置換し、$\displaystyle \int xe^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}$ および交点の等式 $x_0e^{-x_0}=(x_0-L)e^{-(x_0-L)}$ を使うと $$S=e^{-(x_0-L)}-e^{-x_0} =(e^L-1)e^{-x_0} =(a-1)a^{-a/(a-1)}.$$

(4) $x_0-L=L/(a-1)>0$ なので $e^{-x_0}<e^{-L}=1/a$。よって $$\displaystyle S=(a-1)e^{-x_0}<\frac{a-1}{a}.$$