1佐賀大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) $t=\log(ax)$ とおくと $dt/dx=1/x$ だから $$\displaystyle f'(x)=\frac{t^2(3-t)}{x^2}.$$ $t$ は $x$ とともに増加し、$t^2(3-t)$ は $t=0$ の前後で正、$t=3$ の前後で正から負に変わる。よって極大点では $t=3$、すなわち $$\displaystyle b=\frac{e^3}{a}.$$ このとき $f(b)=27/b=27a/e^3=54/e^3$ より $a=2$、したがって $$\displaystyle \boxed{a=2,\qquad b=\frac{e^3}{2}}.$$

(2) $a=2$ なので $f(x)=(\log(2x))^3/x$。$u=\log(2x)$ と置けば $du=dx/x$ となり $$\displaystyle \boxed{\int f(x)\,dx=\frac14(\log(2x))^4+C}.$$

(3) $f(x)=0$ となるのは $x=1/2$ であり、$0<x<1/2$ では $f(x)<0$、$1/2<x\le b$ では $f(x)>0$。また $x\to0^+$ で $f(x)\to-\infty$ だから、曲線・$x$ 軸・直線 $x=b$ で囲まれる有界な部分は $1/2\le x\le b$ にある。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{1/2}^{e^3/2}\frac{(\log(2x))^3}{x}\,dx =\left[\frac{(\log(2x))^4}{4}\right]_{1/2}^{e^3/2}\\ &=\frac{3^4}{4}-0 =\boxed{\frac{81}{4}}. \end{aligned}$$