愛媛大学 2017年数学第9問解答・解説

指数関数・対数関数微分法

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1問題

愛媛大学2017年度第9問

$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{x}}\quad(x>0)$ とおく。

(1) $f(x)$ を微分せよ。

(2) $f(x)$ が $x=a$ で極値をとるならば， $a<\sqrt{3}$ であることを示せ。

(3) $(\sqrt{3})^{(\sqrt{5})^{\sqrt{5}}}$ と $(\sqrt{5})^{(\sqrt{3})^{\sqrt{3}}}$ の大小を比較せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle f'(x)=\frac{1-x\log x(\log x+1)}{x^{x+1}}$ ( $x>0$ , log は自然対数) / (2) $x\ge\sqrt3$ では常に $f'(x)<0$ となることを示せるので、 $f(x)$ が $x=a$ で極値をとるならば $a<\sqrt3$ である。 / (3) $(\sqrt3)^{(\sqrt5)^{\sqrt5}}>(\sqrt5)^{(\sqrt3)^{\sqrt3}}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $f(x)=\log x\,e^{-x\log x}$ より $\displaystyle f'(x)=\frac{1-x\log x(\log x+1)}{x^{x+1}}.$ (2) $x\ge\sqrt3$ なら $\displaystyle \log x\ge\frac12\log3>\frac12$ （ $e<3$ ）だから $\displaystyle x\log x(\log x+1)>\sqrt3\cdot\frac12\cdot\frac32=\frac{3\sqrt3}{4}>1.$ したがって、この範囲では $f'(x)<0$ 。極値をとる点では導関数が0となるので、極値をとる点 $a$ は $a<\sqrt3$ を満たす。

(3) 二数の対数をとり、共通の正数 $(\sqrt3)^{\sqrt3}(\sqrt5)^{\sqrt5}$ で割れば、比較する値はそれぞれ $f(\sqrt3),f(\sqrt5)$ になる。(2)で $f$ は $x\ge\sqrt3$ で減少すると分かったから、 $f(\sqrt3)>f(\sqrt5)$ 。ゆえに $(\sqrt3)^{(\sqrt5)^{\sqrt5}}>(\sqrt5)^{(\sqrt3)^{\sqrt3}}.$

この問題で使う考え方

合成関数の微分
増減
対数比較

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