2琉球大学 2002年 数学 第2問解答・解説

カードを1枚ずつ区別して考える。A、B、Cの順に引くので、起こりうる結果は$9\cdot 8\cdot 7=504$通りである。以下、引いたカードの名前を書いた人を順に並べて表す。たとえば$ACB$は、AがAのカード、BがCのカード、CがBのカードを引いたことを表す。

問1 ちょうど1人だけが自分以外の名前のカードを引く場合、誤って引く人の位置は3通りあり、その人が引く名前は残り2人のいずれかである。したがって該当する名前の並びは$3\cdot2=6$通りである。それぞれの並びでは、ある1人の名前のカードを2枚、別の1人の名前のカードを1枚引く。実物のカードの選び方は$3\cdot2\cdot3=18$通りだから、該当する結果は$6\cdot18=108$通りである。よって確率は$\displaystyle \dfrac{108}{504}=\dfrac{3}{14}$である。

問2 ちょうど1人だけが自分の名前のカードを引く場合を数える。正しく引く人をAに固定すると、名前の並びは$AAA, AAB, ACA, ACB$であり、カードの選び方は順に$3\cdot2\cdot1=6$、$3\cdot2\cdot3=18$、$3\cdot3\cdot2=18$、$3\cdot3\cdot3=27$通りである。合計は$69$通りとなる。正しく引く人はA、B、Cのいずれでも同数なので、該当する結果は$3\cdot69=207$通りである。よって確率は$\displaystyle \dfrac{207}{504}=\dfrac{23}{56}$である。

問3 全員が自分以外の名前のカードを引く場合、各位置で自分以外の2人の名前から選ぶので、名前の並びは$2^3=8$通りある。このうち6通りでは、1人の名前が2回、別の1人の名前が1回現れるため、実物のカードの選び方は各$3\cdot2\cdot3=18$通りである。残る2通りでは3人の名前が1回ずつ現れ、各$3^3=27$通りである。したがって該当する結果は$6\cdot18+2\cdot27=162$通りであり、確率は$\displaystyle \dfrac{162}{504}=\dfrac{9}{28}$である。

検算として、全員が自分の名前を引く結果は$3^3=27$通りである。4つの場合の結果数は$108+207+162+27=504$となり、全結果数と一致する。