5北海道大学 2001年 数学 第5問解答・解説

(1) $A$ が第1回・第2回に続けて勝つ確率は $$\displaystyle \frac12\cdot\frac12=\frac14.$$ この場合は第2回で勝負が終了する。第3回・第4回で初めて $A$ が2連勝するには、勝者が順に $B,C,A,A$ となる必要がある。その確率は $$\displaystyle \left(\frac12\right)^4=\frac1{16}.$$ 第2回・第3回の連勝は第1回・第2回の連勝に含まれるので、求める確率は $$\displaystyle \frac14+\frac1{16}=\frac5{16}.$$

(2) 勝負が第 $n$ 回まで2連勝なしで続くには、第2回以降の各回で、直前の勝者ではない方が勝つ必要がある。各回の条件付き確率は $1/2$ なので $$\displaystyle P(\text{第 }n\text{ 回まで2連勝なし})=\left(\frac12\right)^{n-1}.$$ 求める事象はその余事象であり、$n=2,3,\ldots,100$ に対して $$\displaystyle P(\text{n回以内に誰かが2連勝})=1-\left(\frac12\right)^{n-1} =1-\frac1{2^{n-1}}.$$

Aが4回以内に2連勝する経路を、第1・2回の連勝とB,C,A,Aの順に勝つ追加経路に分けて数える。全員については、2連勝せず勝負がn回目まで続く確率を余事象として求める。