3北里大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) $y=\log x$ の導関数は $1/x$ なので、点 $A(a,\log a)$ における接線の傾きは $1/a$ である。よって接線 $l$ は $$\displaystyle y-\log a=\frac1a(x-a),\qquad \boxed{y=\frac{x}{a}+\log a-1}.$$

(2) $x$ 軸との交点では $y=0$、$y$ 軸との交点では $x=0$ であるから $$P=(a(1-\log a),0),\qquad Q=(0,\log a-1).$$ $0<a<e$ より $\log a<1$。したがって $OP=a(1-\log a)$、$OQ=1-\log a$ であり、直角三角形の面積は $$\displaystyle S(a)=\frac12 OP\cdot OQ=\frac a2(1-\log a)^2.$$

(3) $0<a<e$ で $1-\log a>0$ だから、(2)の式を微分すると $$\displaystyle S'(a)=\frac12\left((1-\log a)^2-2(1-\log a)\right) =\frac12\bigl((\log a)^2-1\bigr).$$ 範囲内では $\log a<1$ である。したがって $0<a<e^{-1}$ では $S'(a)>0$、$e^{-1}<a<e$ では $S'(a)<0$。ゆえに最大は $a=e^{-1}$ でとり、 $$\displaystyle S(e^{-1})=\frac{1}{2e}(1-\log(e^{-1}))^2=\frac2e.$$

(4) 接線の傾きは $1/a$ なので法線の傾きは $-a$。法線 $m$ は $$y-\log a=-a(x-a),\qquad y=-ax+a^2+\log a.$$ これが $(e,0)$ を通る条件は $$F(a):=a^2-ea+\log a=0.$$ $a>0$ で $$\displaystyle F'(a)=2a-e+\frac1a =\frac{2a^2-ea+1}{a} =\frac{2(a-e/4)^2+1-e^2/8}{a}.$$ 問題文の $e<2.719$ より $e^2<2.719^2=7.392961<8$ だから、分子は正であり $F'(a)>0$。従って $F$ は $0<a\le e$ の範囲で単調増加する。また $$\displaystyle \lim\limits _{a\to0+}F(a)=-\infty,\qquad F(e)=e^2-e^2+\log e=1>0.$$ 連続性と中間値の定理により $0<a<e$ の範囲に解が少なくとも一つあり、単調増加性により高々一つである。ゆえに条件を満たす $a$ はただ1個である。