2群馬大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1) $a,b,c,d>0$ より、平方の非負性から $$\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab},\qquad \frac{c+d}{2}\ge\sqrt{cd},\qquad \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}2\ge\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}.$$ これらを合わせると $$\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4} =\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}2 \ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}2 \ge (abcd)^{1/4}.$$ 等号成立には、最初の2つの不等式で $a=b$、$c=d$、最後の不等式で $\sqrt{ab}=\sqrt{cd}$ が必要である。正であることから、これは $a=b=c=d$ と同値であり、そのとき実際に等号となる。

(2) $u=x+y$、$r=x^2+y^2+1$ とおくと $u,r>0$ で、括弧内を $T$ として $$\displaystyle T=r+2u+5+\frac{25}{r} =2u+15+\frac{(r-5)^2}{r}\ge2u+15,$$ 等号は $r=5$ のときに限る。ここで (1) を $2u,5,5,5$ に適用すると $$\displaystyle \left(\frac{2u+15}{4}\right)^4\ge 2u\cdot5^3, \qquad (2u+15)^4\ge64000u,$$ 等号は $2u=5$ のときに限る。元の等式 $T^4=64000u$ が成り立つためには、以上の2つの不等式でともに等号となる必要があり、また十分でもある。したがって $$\displaystyle u=\frac52,\qquad r=5,$$ すなわち $\displaystyle x+y=\frac52$、$x^2+y^2=4$ である。よって $$\displaystyle xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}2=\frac98.$$ $x,y$ は $\displaystyle X^2-\frac52X+\frac98=0$ の2根だから $$\displaystyle X=\frac{5\pm\sqrt7}{4}.$$ したがって求める正の実数の組は $$\displaystyle (x,y)=\left(\frac{5+\sqrt7}{4},\frac{5-\sqrt7}{4}\right),\quad \left(\frac{5-\sqrt7}{4},\frac{5+\sqrt7}{4}\right).$$

(1) 相加相乗平均を(a,b),(c,d)の各組と、それらの幾何平均同士に適用して4変数の不等式を示す。等号は3つの等号条件が同時に成立する場合、すなわち$a=b=c=d$。 (2) s=x+y, r=x²+y²+1とおくと括弧内T=r+25/r+2s+5≧2s+15で、等号はr=5。さらに(1)を2s,5,5,5に適用し(2s+15)^4≧64000s、等号は2s=5。元の等式では両方の下界が等号となる必要があり、$\displaystyle x+y=\frac52$, x²+y²=4。これを解くと提示2組。