群馬大学 2026年数学第5問解答・解説

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1問題

群馬大学2026年度第5問

楕円 $x^{2}+4y^{2}=4$ と直線 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x$ の2つの交点をA,Bとする。ただし, 点Aのx座標は点Bのx座標より大きいものとする。kは0でない定数とし, 楕円 $x^{2}+4y^{2}=4$ は, 直線 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x+k$ と異なる2点P,Qで交わるとする。ただし, 点Pのx座標は点Qのx座標より大きいものとする。以下の間に答えよ。

(1) k の値の範囲を求めよ。

(2) k が (1) で求めた範囲を動くとき, 台形 ABQP の面積 S を k を用いて表せ。

(3) k が (1) で求めた範囲を動くとき, S の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

照合採用答案の交点条件、台形面積の式、最大値と達成点は全て一致する。判別式、平行線間距離、微分による一意な最大点の確認はいずれも正確で、高校範囲内。判定は PASS。

分類単元は楕円・図形と方程式・微分法。方法は判別式、平行弦の長さと距離、絶対値の対称化、微分による増減。テーマは台形面積の最大化。

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