IV慶應義塾大学 2021年 数学 第IV問解答・解説

以下の記号は指数式の略記として定義する。 $$\displaystyle \cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}2,\qquad \sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}2,\qquad \tanh t=\frac{\sinh t}{\cosh t}.$$ 指数関数を微分すると $(\cosh t)'=\sinh t$、$(\sinh t)'=\cosh t$ である。また $$\displaystyle \cosh^2t-\sinh^2t =\frac{(e^t+e^{-t})^2-(e^t-e^{-t})^2}{4}=1, \qquad(\tanh t)'=\frac{\cosh^2t-\sinh^2t}{\cosh^2t} =\frac1{\cosh^2t}.$$ $t>0$ では $e^t>e^{-t}$ なので $\sinh t>0$、また $\cosh t-1=(e^{t/2}-e^{-t/2})^2/2>0$ である。 以下はこれらの指数式の計算だけを用いる。

$\displaystyle f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$とおくと、$f(t)=\cosh t$、$f\prime(t)=\sinh t$である。曲線の点$P=(t,\cosh t)$における接線の方向ベクトルは$(1,\sinh t)$であり、長さは$\cosh t$だから、単位法線ベクトルの一つは$\displaystyle \left(\frac{\sinh t}{\cosh t},-\frac1{\cosh t}\right)=(\tanh t,-\frac1{\cosh t})$である。円の中心はこの法線上で$P$から距離$r$にある。$X<t$であり$\tanh t>0$なので、中心はこの単位法線と逆向きに$r$だけ進んだ点である。したがって$$\displaystyle X(t)=t-r\tanh t,\qquad Y(t)=\cosh t+\frac{r}{\cosh t}.$$

$X$の微分は$\displaystyle X\prime(t)=1-\frac{r}{\cosh^2t}$である。$t>0$なら$\cosh t>1$であるから、$0<r\le1$なら$X\prime(t)>0$であり、$X(0)=0$を連続的に定めると$X(t)>0$となる。逆に$r>1$なら$X(0)=0$、$X\prime(0)=1-r<0$なので、十分小さい正の$t$で$X(t)<0$となる。よってすべての$t>0$で$X(t)>0$となる条件は$r\le1$である。

この条件が成り立たない場合は$r>1$である。$u=\cosh t$とおけば$u>1$で、$$\displaystyle Y(t)=u+\frac ru\ge2\sqrt r,$$等号は$u=\sqrt r$のとき成立する。$r>1$よりこの値は$t>0$で実現し、最小値は$2\sqrt r$である。$\cosh t=\sqrt r$を解くと$e^t=\sqrt r+\sqrt{r-1}$（もう一方の解は1未満）なので、最小となるのは$$t=\log(\sqrt r+\sqrt{r-1}).$$

一方、$r\le1$なら$X\prime(t)>0$なので$Y$を$X$の関数とみなせる。また$$\displaystyle Y\prime(t)=\sinh t-\frac{r\sinh t}{\cosh^2t}=\sinh t\,X\prime(t),\qquad \frac{dY}{dX}=\sinh t.$$よって$\displaystyle \left(\frac{dY}{dX}\right)^2+1=\cosh^2t$。$c=\cosh t>1$とすると$Y=c+r/c$であり、$c$は方程式$c^2-Yc+r=0$の大きい方の解である（$r/c\le1<c$）。したがって$$\displaystyle \left(\frac{dY}{dX}\right)^2+1=\left(\frac{Y+\sqrt{Y^2-4r}}2\right)^2.$$