1群馬大学 2026年 数学 第1問解答・解説

正八面体で$A,C$は対頂点であり、各$B_i$は$A,C$と、他の$B$頂点のうち2つに隣接する。 (1) $A$への流入は$A$での滞在または$B$頂点からの移動である。$B$頂点にいる場合は滞在と2つの$B$頂点への移動の計3通りで再び$B$群にいる。従って $$\displaystyle \begin{aligned}a_{n+1}&=\frac{a_n+b_n}{5},\\ b_{n+1}&=\frac{4a_n+3b_n+4c_n}{5},\\ c_{n+1}&=\frac{b_n+c_n}{5}.\end{aligned}$$ (2) 全確率$a_n+b_n+c_n=1$から $$\displaystyle b_{n+1}=\frac45-\frac15b_n,\qquad b_{n+1}-\frac23=-\frac15\left(b_n-\frac23\right).$$ 出発時刻も含めれば$b_0=0$なので $$\displaystyle \boxed{b_n=\frac23\left(1-\left(-\frac15\right)^n\right)}.$$ また(1)の第1式と第3式を引くと$a_{n+1}-c_{n+1}=(a_n-c_n)/5$。$a_0-c_0=1$だから$a_n-c_n=5^{-n}$。これと$a_n+c_n=1-b_n$を加えて $$\displaystyle \boxed{a_n=\frac16+\frac{3+2(-1)^n}{6\cdot5^n}}.$$ $n=1$を代入すると原文の$a_1=1/5$, $b_1=4/5$, $c_1=0$も満たす。