4名古屋大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) $d=y-x$ とおく。1回の移動で $d$ は $-1,0,1$ のいずれかだけ変化する。時刻1では3通りすべてが $-1\leq d\leq1$ を満たすので、$P_1=1$ である。

時刻 $n$ まで条件(*)を満たした経路について、時刻 $n$ の $d=0$ にある確率を $a_n$、$d=1$ または $d=-1$ にある確率の合計を $b_n$ とする。$d=0$ からは3通りすべて条件を保ち、次の $d$ はそれぞれ $-1,0,1$ となる。$d=1$ または $-1$ からは、条件を保つ移動が2通りあり、そのうち1通りは中央へ、1通りは同じ端へ進む。したがって $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{3},\qquad b_{n+1}=\frac{2a_n+b_n}{3}.$$ 時刻1では $(a_1,b_1)=(1/3,2/3)$ だから $$\displaystyle a_2=\frac13,\quad b_2=\frac49,\quad P_2=a_2+b_2=\frac79,$$ さらに $$\displaystyle a_3=\frac7{27},\quad b_3=\frac{10}{27},\quad P_3=a_3+b_3=\frac{17}{27}.$$ よって $\displaystyle P_1=1,\ P_2=\frac79,\ P_3=\frac{17}{27}$ である。

(2) 上の状態遷移の式から、すべての $n\geq1$ について $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{3},\qquad b_{n+1}=\frac{2a_n+b_n}{3}$$ となる。

(3) $P_n=a_n+b_n$ とおくと、(2)より $$\displaystyle P_{n+1}=a_n+\frac23b_n,$$ また $$\displaystyle P_{n+2}=a_{n+1}+\frac23b_{n+1} =\frac{a_n+b_n}{3}+\frac23\cdot\frac{2a_n+b_n}{3} =\frac79a_n+\frac59b_n.$$ 一方 $$\displaystyle \frac23P_{n+1}+\frac19P_n =\frac23\left(a_n+\frac23b_n\right)+\frac19(a_n+b_n) =\frac79a_n+\frac59b_n.$$ したがって $$\displaystyle P_{n+2}=\frac23P_{n+1}+\frac19P_n\qquad(n\geq1).$$

(4) $\alpha=(1+\sqrt2)/3$ は正であり、直接計算すると $$\displaystyle \alpha^2=\frac23\alpha+\frac19.$$ まず $P_1=1=\alpha^0$ である。また $$\displaystyle P_2=\frac79\leq\frac{1+\sqrt2}{3}=\alpha,$$ 最後の不等式は $4\leq3\sqrt2$（両辺正で、二乗すると $16\leq18$）から従う。

ある $n\geq1$ で $P_n\leq\alpha^{n-1}$ および $P_{n+1}\leq\alpha^n$ が成り立つと仮定する。(3)と $\alpha>0$ より $$\displaystyle P_{n+2}=\frac23P_{n+1}+\frac19P_n \leq\frac23\alpha^n+\frac19\alpha^{n-1} =\alpha^{n-1}\left(\frac23\alpha+\frac19\right) =\alpha^{n+1}.$$ よって、数学的帰納法により $P_n\leq\alpha^{n-1}$ はすべての整数 $n\geq1$ について成り立つ。