4群馬大学 2026年 数学 第4問解答・解説

・ $|\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=1$ かつ $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$。$AH:HB=4:1$ より $$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\mathbf h=\frac{\mathbf a+4\mathbf b}{5},\qquad |\mathbf h|^2=\frac{17}{25}.$$ $\mathbf u=\mathbf a\cdot\mathbf c,\ \mathbf v=\mathbf b\cdot\mathbf c$ とおく。$CH\perp AB$ から $$\displaystyle 0=(\mathbf c-\mathbf h)\cdot(\mathbf b-\mathbf a) =\mathbf v-\mathbf u-\left(\frac45-\frac15\right),$$ よって $\displaystyle \mathbf v-\mathbf u=\frac35$。また $$\displaystyle \frac{13}{25}=|\mathbf c-\mathbf h|^2=1+\frac{17}{25}-2\mathbf c\cdot\mathbf h$$ より $\displaystyle \mathbf c\cdot\mathbf h=\frac{29}{50}$、したがって $\displaystyle \mathbf u+4\mathbf v=5\mathbf c\cdot\mathbf h=\frac{29}{10}$。これらを解いて $$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=\mathbf u=\frac1{10},\qquad \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=\mathbf v=\frac7{10}.$$

・ 内積を展開すると $$\displaystyle |\mathbf c-s\mathbf a-t\mathbf b|^2 =|\mathbf c|^2+s^2|\mathbf a|^2+t^2|\mathbf b|^2-2s\,\mathbf a\cdot\mathbf c-2t\,\mathbf b\cdot\mathbf c+2st\,\mathbf a\cdot\mathbf b =s^2+t^2-\frac{s}{5}-\frac{7t}{5}+1.$$

・ $O,A,B$ は $\mathbf a,\mathbf b$ が直交するので定める平面は $\operatorname{span}\{\mathbf a,\mathbf b\}$ である。もし $C$ もこの平面上にあれば、実数 $s,t$ により $\mathbf c=s\mathbf a+t\mathbf b$ と書けるので、(2)の式は $0$ となる。しかし平方完成すると $$\displaystyle |\mathbf c-s\mathbf a-t\mathbf b|^2=\left(s-\frac1{10}\right)^2+\left(t-\frac7{10}\right)^2+\frac12>0$$ であり、どの実数 $s,t$ に対しても $0$ にならない。したがって $C$ は平面 $OAB$ 上になく、4点 $O,A,B,C$ は同一平面上にない。