5九州大学 2018年 数学 第5問解答・解説

$r=|z|^2\ge0$、$A=|\alpha|^2\ge0$ とおく。与式を $$\alpha(r+2)+i(2A+1)\overline z=0$$ と書き直せる。$2A+1>0$ なので $$\displaystyle \overline z=\frac{i\alpha(r+2)}{2A+1}, \qquad z=-\frac{i\overline\alpha(r+2)}{2A+1}.$$ 絶対値を二乗し $r=|z|^2$ を用いると $$r(2A+1)^2=A(r+2)^2, \qquad Ar^2-(4A^2+1)r+4A=0.$$

$\alpha=0$ なら元の式から $\overline z=0$、したがって $z=0$ のみである。$\alpha\ne0$ なら $A>0$。二次方程式の判別式は $$(4A^2+1)^2-16A^2=(4A^2-1)^2$$ なので、根は $r=4A$ と $r=1/A$。前者を $z$ の式に代入すると $z=-2i\overline\alpha$、後者では $$\displaystyle z=-i\frac{\overline\alpha}{A}=-\frac{i}{\alpha}.$$ どちらも元の式に代入して成立することを確認できる。$4A=1/A$ は $A=1/2$ と同値で、このとき二つの表示は同じ解になる。したがって、$\alpha\ne0$ では通常2解、$|\alpha|=1/\sqrt2$ のとき1解である。