1横浜市立大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(1) $$f'(x)=\bigl(-ax^2+(2a-b)x+b-c\bigr)e^{-x}, \quad f(x)+xe^{-x}=\bigl(ax^2+(b+1)x+c\bigr)e^{-x}.$$ すべての実数 $x$ で等しいので係数を比較する。$-a=a$、$2a-b=b+1$、$b-c=c$ より $$\displaystyle \boxed{(a,b,c)=(0,-\tfrac12,-\tfrac14)}.$$

(2) すべての $a\ge0$ について $y\ge ax^2$ が必要である。$x\ne0$ なら $ax^2$ は $a$ を大きくするといくらでも大きくなり、有限の $y$ では満たせない。$x=0$ なら必要十分条件は $y\ge0$。したがって集合は $\{(x,y)\mid x=0,\ y\ge0\}$。 ある $a\ge0$ についての条件は、$y\ge0$ なら $a=0$ を選べば成り立つ。$y<0$ では $ax^2\ge0$ のため成り立たない。従って集合は $\{(x,y)\mid y\ge0\}$。

(3) 対称行列と $B$ に対して $$T\left(\begin{pmatrix}x&z\\z&y\end{pmatrix},B\right)=xu+z(1+v)+yw.$$ これがすべての $x,y,z$ で0となるには $u=0, v=-1,w=0$。 $J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ とおけば $C=\alpha E+J$、$J^2=-E$ である。よって $$C^2=(\alpha^2-1)E+2\alpha J, \quad \operatorname{tr}(C^4)=2\bigl((\alpha^2-1)^2-4\alpha^2\bigr).$$ $T(C^4,E)=\operatorname{tr}(C^4)=16$ より $$\alpha^4-6\alpha^2-7=0, \quad (\alpha^2-7)(\alpha^2+1)=0.$$ $\alpha$ は実数なので $\boxed{\alpha=\pm\sqrt7}$。