3横浜市立大学 2002年 数学 第3問解答・解説

曲線を $f(x)=x(x-1)(x-r)$ とおく。$r>1$ であり、$0<x<1$ では三つの因数の符号は順に $+,-,-$ なので $f(x)>0$、$1<x<r$ では $+,+,-$ なので $f(x)<0$ である。したがって、囲まれた図形のうち $y$ 座標が $0$ 以下の部分は $1\le x\le r$ にある。

(1) 面積は $$\displaystyle \begin{aligned}S(r)&=-\int_1^r x(x-1)(x-r)\,dx\\&=-\left[\frac{x^4}{4}-\frac{r+1}{3}x^3+\frac r2x^2\right]_1^r\\&=\frac{r^4-2r^3+2r-1}{12}\\&=\frac{(r-1)^3(r+1)}{12}.\end{aligned}$$

(2) $n=r-1$ とおくと、$S(r)$ が整数である条件は $12\mid n^3(n+2)$ である。$4\mid n^3(n+2)$ となるには $n$ は偶数でなければならず、$n$ が偶数なら $8\mid n^3$ よりこの条件を満たす。また、$3\mid n^3(n+2)$ となるのは $n\equiv0,1\pmod 3$ のときである。よって $r$ は奇数で、かつ $r\equiv1,2\pmod 3$ であり、これらを合わせると $r\equiv1,5\pmod 6$ となる。

範囲 $1200\le r\le1210$ でこの条件を満たす整数は $1201,1205,1207$ である。これらはすべて $r\equiv1$ または $5\pmod 6$ を満たすので、上の同値条件から面積は整数となる。なお、(1) の式に $r=2$ を代入すると $S(2)=1/4>0$ となり、下側の部分の面積として符号も整合する。