4横浜市立大学 2002年 数学 第4問解答・解説

採用解説: MM-933cfcb8a339-Q4 結論

(1)　 $-a\le Y\le a$,　 $\displaystyle X=\frac{a^2-Y^2}{2a}$　　 (2)　 $\displaystyle \frac{4\pi a^3}{15}$

線分上の点Qを媒介変数tを用いて$Q=A+t(P-A),\quad 0\le t\le1$とおく。$P=(u,v,0)$とすれば、$u^2+v^2=a^2$、$u\ge0$であり、$Q=(tu,tv,a(1-t))$である。Qのx座標とz座標が等しいから、$tu=a(1-t)$、したがって$\displaystyle t=\frac{a}{a+u}$である。ゆえに$X=tu$、$Y=tv$となる。

まず$u\ge0$より$\displaystyle \frac{a}{a+u}\le1$であり、$|v|\le a$だから、$\displaystyle |Y|=\frac{a|v|}{a+u}\le a$である。また、半円周の両端$P=(0,\pm a,0)$ではそれぞれ$Y=\pm a$となる。Pが半円周上を連続的に動くときYも連続的に変化するので、中間のすべての値をとる。したがってYの範囲は$-a\le Y\le a$である。

さらに、$X=tu=a(1-t)$より$\displaystyle t=1-\frac Xa$である。よって$$\begin{aligned}X^2+Y^2&=t^2(u^2+v^2)=a^2t^2=(a-X)^2,\\2aX&=a^2-Y^2.\end{aligned}$$　$a>0$したがって$$\displaystyle X=\frac{a^2-Y^2}{2a}\quad(-a\le Y\le a).$$

(2) この範囲では$X\ge0$である。y軸のまわりに回転すると、座標Yでの断面は半径X(Y)の円となるから、体積は$$\displaystyle \begin{aligned}V&=\pi\int_{-a}^{a}X(Y)^2\,dY\\&=\frac{\pi}{4a^2}\int_{-a}^{a}(a^2-Y^2)^2\,dY\\&=\frac{\pi}{4a^2}\left[a^4Y-\frac{2a^2Y^3}{3}+\frac{Y^5}{5}\right]_{-a}^{a}\\&=\frac{\pi}{4a^2}\left(2a^5-\frac{4a^5}{3}+\frac{2a^5}{5}\right)=\frac{4\pi a^3}{15}.\end{aligned}$$