千葉大学 2009年数学第3問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

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1問題

千葉大学2009年度第3問

自然数 $a, b, c, d$ は

$c = 4 a + 7 b, \quad d = 3 a + 4 b$

を満たしているものとする。

(1) $c + 3d$ が 5 の倍数ならば $2a + b$ も 5 の倍数であることを示せ。

(2) a と b が互いに素で, c と d がどちらも素数 p の倍数ならば, p = 5 であることを示せ。ただし, 2 つの自然数が互いに素とは, 1 以外の正の公約数をもたないことをいう。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
5|(c+3d)なら5|(2a+b)
(2)
$p=5$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 条件式から $c+3d=(4a+7b)+3(3a+4b)=13a+19b =4(2a+b)+5(a+3b).$ $5\mid(c+3d)$ なら、右辺から $5(a+3b)$ を引いて $5\mid4(2a+b)$ 。 $4$ と $5$ は互いに素なので $\boxed{5\mid(2a+b)}.$

(2) $p\mid c$ かつ $p\mid d$ だから、それらの整数倍の差も $p$ の倍数である。実際、 $4c-7d=4(4a+7b)-7(3a+4b)=-5a,$ $3c-4d=3(4a+7b)-4(3a+4b)=5b.$ したがって $p\mid5a$ と $p\mid5b$ 。もし $p\ne5$ なら、 $p$ は素数なので $p\mid a$ および $p\mid b$ となる。これは $a,b$ が互いに素であることに反する。ゆえに $\boxed{p=5}.$

この問題で使う考え方

整数係数の線形結合
素数の性質と互いに素

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