千葉大学 2009年数学第7問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

千葉大学2009年度第7問

$a$ と $k$ を正の実数とする。 $\displaystyle y = \frac{a}{2} x^2$ のグラフを平行移動して得られる放物線 $C_1$ と $\displaystyle y = -\frac{2}{a} x^2$ のグラフを平行移動して得られる放物線 $C_2$ が, ともに原点 O(0,0) で直線 $y = kx$ に接するものとする。原点 O を通り, 直線 $y = kx$ に垂直な直線を $\ell$ とする。放物線 $C_1$ と直線 $\ell$ によって囲まれる図形の面積を $S_1$ , 放物線 $C_2$ と直線 $\ell$ によって囲まれる図形の面積を $S_2$ とおき, $S = S_1 + S_2$ とする。次の問いに答えよ。

(1) S を a と k を用いて表せ。

(2) $k = \sqrt{2} - 1$ とする。S を最小にする a の値と，そのときの S の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle S=\left(k+\frac1k\right)^3\left(\frac{2}{3a^2}+\frac{a^2}{24}\right)$ . (2) $a=2$ , $\displaystyle S_{\min}=\frac{16\sqrt2}{3}$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle q=k+\frac1k$ . $\displaystyle C_1:\ y=\frac a2x^2+kx$ , $\displaystyle C_2:\ y=-\frac2a x^2+kx$ , $\displaystyle \ell:\ y=-\frac{x}{k}$ . $\displaystyle S_1=\frac{2q^3}{3a^2}$ , $\displaystyle S_2=\frac{a^2q^3}{24}$ , so $\displaystyle S=\frac{q^3}{24}\left(a^2+\frac{16}{a^2}\right)$ . For $k=\sqrt2-1$ , $q=2\sqrt2$ and $\displaystyle a^2+\frac{16}{a^2}\ge8$ , equality iff $a=2$ ; $\displaystyle S_{\min}=\frac{16\sqrt2}{3}$ .

この問題で使う考え方

平行移動と接線
面積積分
平方完成/平方不等式

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。