4愛媛大学 2008年 数学 第4問解答・解説

原文・対象確認

PDF p.8（印刷p.7）の大問4を原画像で確認した。設問は外心O、AA′を直径とし、BCの中点DとDに関してA′の対称点Hを定める。(1)はhの表示、(2)はAH⊥BCとBH⊥CAの証明、(3)はθ=∠ABCとして$BH=2R|\cos\theta|$の証明である。表紙には「平成20年度 数学（前期日程）」とあり、医学部の選択問題は4・6・7・8と記されるため、大問4は医学部対象。

数学・範囲の点検

(1) OはAA′の中点なので$\overrightarrow{OA'}=-\vec a$。DはBCの中点から$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{\vec b+\vec c}{2}$であり、A′Hの中点でもある。よって $\vec h=2\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA'}=\vec a+\vec b+\vec c$。

(2) $\overrightarrow{AH}=\vec h-\vec a=\vec b+\vec c$、$\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$だから $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=|\vec c|^2-|\vec b|^2=0$。外心より$|\vec b|=|\vec c|=R$である。同様に$\overrightarrow{BH}=\vec a+\vec c$、$\overrightarrow{CA}=\vec a-\vec c$から $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CA}=|\vec a|^2-|\vec c|^2=0$。したがって指定された二組が垂直。

(3) $BH^2=|\vec a+\vec c|^2$、$AC^2=|\vec a-\vec c|^2$。平行四辺形の対角線の平方和より両者の和は$2|\vec a|^2+2|\vec c|^2=4R^2$。正弦定理から$AC=2R\sin\theta$なので $BH^2=4R^2-4R^2\sin^2\theta=4R^2\cos^2\theta$。長さBHは非負だから $BH=2R|\cos\theta|$。絶対値も含め原文・採用解説の結論と一致する。

使用するのは高校範囲の位置ベクトル、内積、円の性質、平行四辺形の恒等式と正弦定理である。

採用する解説