7愛媛大学 2008年 数学 第7問解答・解説

(1) $x$ が1に十分近ければ $\displaystyle x>\frac12$ である。また $0<|x-1|<1$ のとき $\log|x-1|<0$ だから $$\displaystyle f(x)=x\log|x-1|<\frac12\log|x-1|.$$ $x\to1$ のとき右辺は $-\infty$ に向かうので $$\displaystyle \lim\limits _{x\to1}f(x)=-\infty.$$

(2) $x>1$ では $$\displaystyle f'(x)=\log(x-1)+\frac{x}{x-1}, \qquad f''(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^2} =\frac{x-2}{(x-1)^2}.$$ したがって $1<x<2$ で $f'$ は減少し，$x>2$ で増加するから，$x=2$ で最小値をとる。その値は $$\displaystyle f'(2)=\log 1+\frac{2}{1}=2.$$ $x>2$ では $f'$ が増加し続けるので最大値はない。

(3) 定義域は $x\ne1$ であり，その上で $$\displaystyle f'(x)=\log|x-1|+\frac{x}{x-1}, \qquad f''(x)=\frac{x-2}{(x-1)^2}.$$ $x<1$ では $f''(x)<0$ なので $f'$ は減少する。また $f'(0)=0$ であるから，$x<0$ で $f'(x)>0$，$0<x<1$ で $f'(x)<0$ となる。$x>1$ では(2)より $f'(x)\ge2>0$。よって $f$ は $x<0$ で増加し，$0<x<1$ で減少し，$x>1$ で増加する。したがって極大点は $(0,0)$ で，極大値は0である。極小値はない。

さらに $$f''(x)<0\quad(x<1,\ 1<x<2),\qquad f''(x)>0\quad(x>2)$$ より，曲線は $x<1$ と $1<x<2$ で上に凸，$x>2$ で下に凸である。$x=2$ で凹凸が変わり，$f(2)=0$ だから変曲点は $(2,0)$ である。

グラフの形を定めるため端の様子も確認する。$x\to1$ のときは(1)より $f(x)\to-\infty$ であり，$x=1$ は垂直漸近線となる。また $x\to-\infty$ では $x<0$，$\log|x-1|>0$ なので $f(x)\to-\infty$，$x\to\infty$ では $f(x)\to\infty$ である。さらに $f(x)=0$ となるのは $x=0,2$ である。以上から，左側の枝は $x<0$ で増加して $(0,0)$ で極大となり，そこから $x=1$ に向かって $-\infty$ へ下がる。右側の枝は $x=1$ の右で $-\infty$ から増加し，変曲点 $(2,0)$ を通って $+\infty$ へ向かう。