6愛媛大学 2008年 数学 第6問解答・解説

(1) 商の微分法より $$\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-(x+a)\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} =\frac{x^2+1-x(x+a)}{(x^2+1)^{3/2}} =\frac{1-ax}{(x^2+1)^{3/2}}.$$ (2) $a\geq0$ ならば $$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{a}{\sqrt{x^2+1}}>-1$$ がすべての実数 $x$ で成り立つ。したがって最小値 $-\sqrt2$ をもつためには $a<0$ である。このとき $f'(x)$ の分母は正であり、分子 $1-ax$ は $x<1/a$ で負、$x>1/a$ で正となるので、$f$ は $x=1/a$ で最小値をとる。その値は $a<0$ に注意して $$\displaystyle f\!\left(\frac1a\right) =\frac{(1+a^2)/a}{\sqrt{(1+a^2)/a^2}} =-\sqrt{1+a^2}.$$ よって $-\sqrt{1+a^2}=-\sqrt2$ から $a^2=1$。$a<0$ より $a=-1$。 (3) $a=-1$ のとき、曲線は $(0,-1)$ と $(1,0)$ を通り、$0\leq x<1$ では $x$ 軸の下側にある。したがって、軸で囲まれる部分を回転してできる立体の体積は円板法により $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^1f(x)^2\,dx =\pi\int_0^1\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\,dx\\ &=\pi\int_0^1\left(1-\frac{2x}{x^2+1}\right)dx =\pi\left[x-\ln(x^2+1)\right]_0^1 =\pi(1-\ln2). \end{aligned}$$