2東邦大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) $$\displaystyle f'(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2},\qquad f''(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}.$$ 分母は正であり、$f''(x)$ は $x=1/\sqrt3$ の前後で負から正へ変わる。従って正の変曲点は $$\displaystyle A=\left(\frac1{\sqrt3},\frac{1}{1+1/3}\right)=\left(\frac1{\sqrt3},\frac34\right).$$

(2) $a=1/\sqrt3$ とおく。接線の傾きは $$\displaystyle f'(a)=-\frac{2/\sqrt3}{(4/3)^2}=-\frac{3\sqrt3}{8}.$$ よって点傾きの式から $$\displaystyle y-\frac34=-\frac{3\sqrt3}{8}\left(x-\frac1{\sqrt3}\right),\qquad g(x)=-\frac{3\sqrt3}{8}x+\frac98.$$

(3) 領域の各断面を $x$ 軸のまわりに回転すると半径 $g(x)$ の円になるから、$0\le x\le a$ について $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^a g(x)^2\,dx=\frac{\pi}{64}\int_0^{1/\sqrt3}(9-3\sqrt3x)^2\,dx\\ &=\frac{\pi}{64}\left[81x-27\sqrt3x^2+9x^3\right]_0^{1/\sqrt3}=\frac{19\sqrt3\pi}{64}. \end{aligned}$$

(4) $a=1/\sqrt3$ であり、整理すると $$\displaystyle g(x)-f(x)=\frac{(1-\sqrt3x)^3}{8(1+x^2)}\ge0\qquad(0\le x\le a).$$ 従ってこの区間では外半径が $g(x)$、内半径が $f(x)$ である。まず $$\displaystyle \int_0^a g(x)^2\,dx=\frac{19\sqrt3}{64}.$$ また、$x=\tan\theta$ とおくと、$0\le\theta\le\pi/6$、$dx=\sec^2\theta\,d\theta$、$1+x^2=\sec^2\theta$ であるから $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^a f(x)^2\,dx &=\int_0^{1/\sqrt3}\frac{dx}{(1+x^2)^2}\\ &=\int_0^{\pi/6}\cos^2\theta\,d\theta\\ &=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\pi/6} =\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}. \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle V=\pi\int_0^a\bigl(g(x)^2-f(x)^2\bigr)\,dx =\pi\left(\frac{11\sqrt3}{64}-\frac{\pi}{12}\right) =\frac{11\sqrt3\pi}{64}-\frac{\pi^2}{12}.$$