3新潟大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$O$を原点とし、$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\ \overrightarrow{OB}=\boldsymbol b,\ \overrightarrow{OC}=\boldsymbol c$とする。各面が一辺$1$の正三角形なので $$\displaystyle |\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|=|\boldsymbol c|=1,\qquad \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b =\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c =\boldsymbol c\cdot\boldsymbol a =\frac12.$$ また、$P$は辺$OC$上にあるから $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=t\boldsymbol c,\qquad \overrightarrow{OM}=\frac12\boldsymbol b,\qquad 0\le t\le1.$$

（1）位置ベクトルの差の長さの二乗を計算すると $$\displaystyle \begin{aligned} AP^2 &=|t\boldsymbol c-\boldsymbol a|^2 =t^2+1-2t(\boldsymbol c\cdot\boldsymbol a) =t^2-t+1,\\ PM^2 &=\left|t\boldsymbol c-\frac12\boldsymbol b\right|^2 =t^2+\frac14-t(\boldsymbol c\cdot\boldsymbol b) =t^2-\frac t2+\frac14. \end{aligned}$$

（2）$\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac12\boldsymbol b-\boldsymbol a$より $$\displaystyle AM^2=\frac14+1-\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\frac34, \qquad \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AM} =(t\boldsymbol c-\boldsymbol a)\cdot \left(\frac12\boldsymbol b-\boldsymbol a\right) =\frac{3-t}{4}.$$ したがって、$\theta=\angle PAM$について $$\displaystyle \cos\theta =\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AM}}{AP\cdot AM} =\frac{3-t}{2\sqrt3\sqrt{t^2-t+1}}.$$

（3）三角形の面積を$S$とする。底辺高さの公式から $$\displaystyle S=\frac12\,AM\cdot AP\sin\theta.$$ また、$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AP}=AM\cdot AP\cos\theta$と $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} S^2 &=\frac14\left(AM^2\cdot AP^2- (\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AP})^2\right)\\ &=\frac14\left\{\frac34(t^2-t+1)-\left(\frac{3-t}{4}\right)^2\right\} =\frac{11t^2-6t+3}{64}. \end{aligned}$$ $S\ge0$だから $$\displaystyle S=\frac18\sqrt{11t^2-6t+3}.$$

（4）平方完成すると $$\displaystyle 11t^2-6t+3 =11\left(t-\frac3{11}\right)^2+\frac{24}{11}.$$ 頂点$\displaystyle t=\frac3{11}$は$0\le t\le1$の範囲内なので、 $$\displaystyle S_{\min} =\frac18\sqrt{\frac{24}{11}} =\frac{\sqrt{66}}{44} \qquad\left(t=\frac3{11}\right).$$

正四面体の各辺を単位ベクトルで表すと、面が正三角形であることから異なる辺ベクトルの内積は$\displaystyle \frac12$となる。位置ベクトルで各距離と角度を計算し、底辺高さの公式で面積を求める。最後に平方完成し、辺上の範囲にある頂点で最小値を得る。