1徳島大学 2022年 数学 第1問解答・解説

三側面が一辺1の正方形なので、$\overrightarrow{OC}$ は底面に垂直で、$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1$。底面 $OAB$ は一辺1の正三角形である。$\vec a=\overrightarrow{OA},\ \vec b=\overrightarrow{OB},\ \vec c=\overrightarrow{OC}$ とおけば $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac12,\qquad \vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c=0,\qquad |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1.$$ また $\displaystyle \overrightarrow{OD}=\vec a+\vec c,\ \overrightarrow{OE}=\vec b+\vec c,\ \overrightarrow{OM}=\vec b+\frac12\vec c$。$AT:TD=t:(1-t)$ より $\overrightarrow{OT}=\vec a+t\vec c$。

(1) $$\displaystyle \overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OT} =\left(\vec b+\frac12\vec c\right)\cdot(\vec a+t\vec c) =\frac12+\frac{t}{2}=\frac{1+t}{2}.$$

(2) 三角形の面積と内積の関係から $$4S^2=|\overrightarrow{OM}|^2|\overrightarrow{OT}|^2-(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OT})^2.$$ ここで $|\overrightarrow{OM}|^2=5/4$、$|\overrightarrow{OT}|^2=1+t^2$ なので $$\displaystyle 4S^2=\frac54(1+t^2)-\left(\frac{1+t}{2}\right)^2 =t^2-\frac12t+1 =\left(t-\frac14\right)^2+\frac{15}{16}.$$ 許容範囲 $0<t<1$ に $t=1/4$ が含まれるから $$\displaystyle S_{\min}=\frac12\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}8.$$

(3) 重心の位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OT}}3 =\frac13\vec a+\frac13\vec b+\frac{t+1/2}{3}\vec c.$$ 直線 $EG$ 上の点を $X=E+\lambda(G-E)$ とする。$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立なので、$X$ が直線 $OA$ 上にある条件は $\vec b,\vec c$ の係数がともに0となること。係数を比較すると $$\displaystyle 1-\frac{2\lambda}{3}=0,\qquad 1+\frac{2t-5}{6}\lambda=0.$$ 前式から $\lambda=3/2$、これを後式に代入して $2t-5=-4$、よって $t=1/2$。このとき $\displaystyle X=\frac12\vec a$ となり、実際に直線 $OA$ 上にある。

単位正三角柱をベクトルで表し、内積・面積を計算する。面積の二乗を平方完成し、最後は重心と直線上の点の係数を比較して交点条件を解く。