2徳島大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) 両辺は非負なので二乗してよい。 $$|x+y|\le |x-y|\text{ と同値な条件は }(x+y)^2\le(x-y)^2.$$ 展開して整理すると $4xy\le0$、すなわち $$xy\le0.$$ したがって座標軸を含む第II・第IV象限である。

(2) $\displaystyle X=x+\frac12,\ Y=y-\frac12$ とおくと $x+y=X+Y$、$x-y+1=X-Y$。よって $$(x+y)^2+(x-y+1)^2=2(X^2+Y^2),$$ 領域は中心 $\displaystyle (-\frac12,\frac12)$、半径1の円盤 $$\displaystyle (x+\frac12)^2+(y-\frac12)^2\le1.$$

(3) 円盤のうち第I象限にある面積を $A_1$ とする。円の下端・上端は縦に見ると、$0\le x\le a=(\sqrt3-1)/2$ では $y=0$ と上半円、$a\le x\le1/2$ では上下の円弧である。$u=x+1/2$ と置けば $$\displaystyle A_1=\frac{\sqrt3-1}{4}+\int_{1/2}^{\sqrt3/2}\sqrt{1-u^2}\,du +2\int_{\sqrt3/2}^{1}\sqrt{1-u^2}\,du.$$ 各積分で $u=\sin\theta$ と置換する。積分範囲では $\cos\theta\ge0$ なので $\sqrt{1-u^2}=\cos\theta$、従って被積分関数と微分の積は $\cos^2\theta\,d\theta$。倍角公式から $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{1/2}^{\sqrt3/2}\sqrt{1-u^2}\,du &=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^2\theta\,d\theta\\ &=\left[\frac\theta2+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_{\pi/6}^{\pi/3}=\frac\pi{12},\\ \int_{\sqrt3/2}^{1}\sqrt{1-u^2}\,du &=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta\\ &=\left[\frac\theta2+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_{\pi/3}^{\pi/2} =\frac\pi{12}-\frac{\sqrt3}{8}. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle A_1=\frac{\sqrt3-1}{4}+\frac\pi{12}+2\left(\frac\pi{12}-\frac{\sqrt3}{8}\right)=\frac{\pi-1}{4}.$$ 反射 $(x,y)\mapsto(-y,-x)$ は円の中心 $(-1/2,1/2)$ を固定し、第I象限と第III象限を移すため、第III象限部分の面積も $A_1$。円盤全体の面積は $\pi$、境界軸の面積は0だから、第II・第IV象限部分の面積は $$\displaystyle \pi-2A_1=\frac{\pi+1}{2}.$$

(1) 絶対値を二乗して$xy\le0$を得る。(2) 平行移動で中心$\displaystyle (-\frac12,\frac12)$、半径1の円盤にする。(3) 第I象限部分を縦に積分し、$u=\sin\theta$の置換で平方根を$\cos\theta$へ移す。$\cos^2\theta$の倍角公式で面積を評価する。中心を保つ反射で第III象限の面積を得て全体から引く。