3藤田医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

$(1) C(x)=\sqrt{x(2-x)}, L(x)=x\tan\theta$ とおく。$x(x-2)+y^2=y^2-C(x)^2=(y-C(x))(y+C(x))$ であり、$y,C(x)\ge0$ だからこの因子の符号は $y-C(x)$ の符号と同じ。したがって $$\{x(x-2)+y^2\}(x\tan\theta-y)\ge0$$ は $y$ が $C(x)$ と $L(x)$ の間にあることと同値。領域は $0\le x\le2$ において円弧 $y=\sqrt{x(2-x)}$ と直線 $y=x\tan\theta$ の間である。 交点は $x=0$ のほか、$x>0$ として両者を等しくすると $$\displaystyle x^2\tan^2\theta=x(2-x)\quad\text{より}\quad x=\frac{2}{1+\tan^2\theta}=2\cos^2\theta.$$ 従って交点は $(0,0)$ と $(2\cos^2\theta,2\sin\theta\cos\theta)$。具体的には $$\begin{cases} x\tan\theta\le y\le\sqrt{x(2-x)},&0\le x\le2\cos^2\theta,\\ \sqrt{x(2-x)}\le y\le x\tan\theta,&2\cos^2\theta\le x\le2. \end{cases}$$

$(2) q=\cos^2\theta$ とおくと $0<q<1$ で、直線の二乗は $L(x)^2=x^2(1/q-1)$。円弧の二乗との差は $$\displaystyle C(x)^2-L(x)^2=2x-\frac{x^2}{q},$$ であり、符号は $x=2q$ で変わる。回転体の断面は内半径と外半径をもつ円環なので、体積は $$\displaystyle V=\pi\left\{\int_0^{2q}\left(2x-\frac{x^2}{q}\right)dx+\int_{2q}^{2}\left(\frac{x^2}{q}-2x\right)dx\right\} =\pi\left\{\frac83\left(q^2+\frac1q\right)-4\right\}.$$ 相加平均・相乗平均より $$\displaystyle q^2+\frac1q=q^2+\frac1{2q}+\frac1{2q}\ge3\sqrt[3]{\frac14}=\frac3{2^{2/3}}.$$ 等号は $q^2=1/(2q)$、すなわち $q=2^{-1/3}$ のとき成立し、これは $0<q<1$ の範囲内である。したがって $$\displaystyle V_{\min}=\pi\left(\frac8{2^{2/3}}-4\right)=4\pi(\sqrt[3]{2}-1),\qquad \cos\theta=\sqrt q=2^{-1/6}.$$

図示追補を以下に示す（原式・条件・結論は変更しない）。