2新潟大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) $\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.6990$より $$\log_{10}15=\log_{10}3+\log_{10}5=0.4771+0.6990=1.1761.$$ したがって $$\log_{10}(15^{15})=15\times1.1761=17.6415.$$ ゆえに$10^{17}<15^{15}<10^{18}$であり、$15^{15}$は18桁の整数である。

(2) 与えられた値から $$\log_{10}8=3\log_{10}2=0.9030,\qquad \log_{10}9=2\log_{10}3=0.9542.$$ よって $$106\log_{10}8=106\times0.9030=95.718 >95.42=100\times0.9542=100\log_{10}9,$$ すなわち$\displaystyle \frac{106}{100}\log_{10}8>\log_{10}9$である。一方、$100m>106n$より$\displaystyle \frac mn>\frac{106}{100}$。$\log_{10}8>0$かつ$n>0$なので $$\displaystyle m\log_{10}8 >\frac{106}{100}n\log_{10}8 >n\log_{10}9.$$ 常用対数の単調性から$8^m>9^n$が従う。