1千葉大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) 三辺の長さは正であり、三角形の成立条件は各二辺の和が残りの一辺より大きいことである。したがって $$2+5>a,\qquad 2+a>5,\qquad 5+a>2$$ を満たすことと $a>0$ を合わせると、必要十分な範囲は $3<a<7$ となる。

(2) $$A=\log_{10}(5x),\qquad B=\log_{10}(x+10),\qquad C=\log_{10}3$$ とおく。三辺が正であるため、まず $5x>1$、すなわち $\displaystyle x>\frac15$ が必要である。このとき $x+10>1$ でもあるので、三つの対数はすべて正で定義される。三角形の成立条件は $$A+B>C,\qquad A+C>B,\qquad B+C>A$$ である。対数の性質と単調性から、これは順に $$5x(x+10)>3,\qquad 15x>x+10,\qquad 3(x+10)>5x$$ と同値である。後二つは $\displaystyle x>\frac57$ および $x<15$ を与える。また $\displaystyle x>\frac57$ ならば $\displaystyle 5x(x+10)>\frac{250}{7}>3$ なので、最初の不等式は自動的に成り立つ。よって求める範囲は $$\displaystyle \frac57<x<15.$$

(3) (2)の範囲内で二等辺三角形となるには、三辺のうち二つが等しい。 $$\displaystyle A=B\quad\text{すなわち}\quad 5x=x+10\quad\text{すなわち}\quad x=\frac52.$$ 一方、$A=C$ なら $\displaystyle x=\frac35$ で、(2)の範囲外であり、$B=C$ なら $x=-7$ となって $\log_{10}(5x)$ が定義されない。したがって候補は $\displaystyle x=\frac52$ のみである。これは $\displaystyle \frac57<\frac52<15$ を満たすため、(2)より実際に三角形が存在し、求める値は $\displaystyle \boxed{\frac52}$ である。