5千葉大学 2024年 数学 第5問解答・解説

全事象は、$2n$ 個の点から異なる3点を選ぶので $\displaystyle \binom{2n}{3}$ 通りである。3点が同一直線上にあるためには、その直線は水平でなければならない。実際、水平でない直線は $y=1,2$ の各行と高々1点ずつしか交わらず、選べる点は最大2点である。したがって3点全部が同じ高さの行にある場合だけが面積0となる。このような選び方は $\displaystyle 2\binom n3$ 通りであり、これらの面積は $0$ である。

面積が正であるときは、3点のうち2点が一方の高さ、残り1点が他方の高さにある。2点の $x$ 座標の差を $k$ とすると、その2点を底辺とする高さは $1$ なので面積は $k/2$ である。$1\le k\le n-1$ のとき、底辺の左端は $n-k$ 通り、底辺を置く高さは2通り、他方の高さの頂点は $n$ 通りだから、有利な選び方は $2n(n-k)$ 通りとなる。

したがって $$\displaystyle p_0=\frac{2\binom n3}{\binom{2n}3}=\frac{n-2}{2(2n-1)},\qquad p_k=\frac{2n(n-k)}{\binom{2n}3}=\frac{3(n-k)}{(2n-1)(n-1)}\quad(1\le k\le n-1).$$ $k\ge n$ では座標差 $k$ の2点を選べないので $p_k=0$。

次に $r_n=\lfloor n/2\rfloor$ とおくと、$X=k/2$ だから $X\le n/4$ は $k\le r_n$ と同値である。よって $$\displaystyle q_n=\frac{2\binom n3+2n\sum\limits _{k=1}^{r_n}(n-k)}{\binom{2n}3} =\frac{2\binom n3+2n\left(r_n n-\frac{r_n(r_n+1)}2\right)}{\binom{2n}3}.$$ $r_n/n\to 1/2$ であるから、分子を $n^3$ で割った極限は $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{2\binom n3}{n^3} +\lim\limits _{n\to\infty}\left(\frac{2r_n}{n}-\frac{r_n(r_n+1)}{n^2}\right) =\frac13+\left(1-\frac14\right)=\frac{13}{12}.$$ また $\displaystyle \binom{2n}3/n^3\to 4/3$ なので $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}q_n=\frac{13/12}{4/3}=\frac{13}{16}.$$

全事象は$\displaystyle \binom{2n}{3}$。面積0となるのは3点が同じ水平列にある場合だけで、$\displaystyle 2\binom n3$通り。正の面積の場合、同じ列にある2点のx距離をkとすると面積は$\displaystyle \frac{k}{2}$。底辺の行の選択2通り、左端$n-k$通り、別行の頂点n通りなので有利数は$2n(n-k)$。これを全事象で割ると$\displaystyle p_k=\frac{3(n-k)}{(n-1)(2n-1)}$。$r=\lfloor n/2\rfloor$とすれば$\displaystyle q_n=p_0+\sum\limits _{k=1}^{r}p_k$。$\displaystyle p_0\to\frac14$、和は$\displaystyle \frac{3\{nr-\frac{r(r+1)}2\}}{(n-1)(2n-1)}\to\frac9{16}$だから極限は$\displaystyle \frac{13}{16}$。