9千葉大学 2024年 数学 第9問解答・解説

(1) $\displaystyle tF(m,n)=\sum\limits _{k=m+1}^{m+n}\binom{k-1}{m}t^k$ と添字をずらす。また $\displaystyle (t-1)F(m+1,n)=\sum\limits _{k=m+1}^{m+n}\binom{k}{m+1}(t^{k+1}-t^k)$ である。パスカルの恒等式 $\displaystyle \binom{k}{m+1}=\binom{k-1}{m+1}+\binom{k-1}{m}$ を用いると、$$\displaystyle (t-1)F(m+1,n)+tF(m,n)=\sum\limits _{k=m+1}^{m+n}\left\{\binom{k}{m+1}t^{k+1}-\binom{k-1}{m+1}t^k\right\}=\binom{m+n}{m+1}t^{m+n+1}.$$ 最後は隣り合う項が消去され、下端の係数 $\displaystyle \binom{m}{m+1}=0$ となるためである。したがって $\displaystyle A=\binom{m+n}{m+1}t^{m+n+1-p}$。二項係数は正であるから、これが $t$ によらないためには指数が0でなければならず、$p=m+n+1$、$\displaystyle A=\binom{m+n}{m+1}$。 (2) $m=0$ では $\displaystyle F(0,n)=\sum\limits _{k=0}^{n-1}t^k=(1-t^n)/(1-t)\to1/(1-t)$。次に $m\ge1$ とする。(1)の恒等式で $m$ を $m-1$ に置き換えると $$\displaystyle (t-1)F(m,n)+tF(m-1,n)=\binom{m+n-1}{m}t^{m+n},$$ よって $$\displaystyle F(m,n)=\frac{t}{1-t}F(m-1,n)-\frac{\binom{m+n-1}{m}t^{m+n}}{1-t}.$$ 固定した $m\ge1$ に対して $k=m+n-1$ とおけば $\displaystyle \binom{k}{m}\le k^m/m!$ なので、補正項の絶対値は $\displaystyle \frac{t}{m!(1-t)}k^m t^k\to0$。これは問題で許された極限に $s=t$ を代入したものである。したがって、$m-1$ で極限が存在すれば $m$ でも存在し、極限値 $L_m$ は $\displaystyle L_m=\frac{t}{1-t}L_{m-1}$ を満たす。基底 $L_0=1/(1-t)$ から $L_m=t^m/(1-t)^{m+1}$ を得る。