3東邦大学 2007年 数学 第3問解答・解説

半円の中心を原点、直径 $AB$ を $x$ 軸上に置き、$A=(-1,0)$、$B=(1,0)$ とする。$CM=x$ なので $CD=2x$ であり、二点 $C,D$ は高さが等しく中心軸に関して対称である。$C$ を $(x,y_0)$、$D$ を $(-x,y_0)$ とおくと、半径が1であることから $$x^2+y_0^2=1,\qquad y_0=\sqrt{1-x^2},\qquad 0<x<1.$$

(1) 台形 $ABCD$ の高さは $AB$ と $CD$ の距離、すなわち $y_0$ である。よって $$\boxed{\sqrt{1-x^2}}.$$

(2) $E$ は対称性から $y$ 軸上にある。直線 $AC$ を $$(-1,0)+\lambda(x+1,y_0)$$ と表し、$x$ 座標が0となる条件 $-1+\lambda(x+1)=0$ から $\displaystyle \lambda=\frac1{1+x}$ を得る。したがって $\displaystyle E=(0,\frac{y_0}{1+x})$、一方 $M=(0,y_0)$ である。よって $$\displaystyle h=ME=y_0-\frac{y_0}{1+x}=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1+x}.$$

(3) 三角形 $CDE$ の底辺を $CD=2x$、高さを $ME=h$ とすると、その面積を $S$ として $$\displaystyle S=xh=\frac{x^2\sqrt{1-x^2}}{1+x}.$$ $S>0$ なので、$S$ の最大化はその二乗 $$\displaystyle F(x)=S^2=\frac{x^4(1-x)}{1+x}\qquad(0<x<1)$$ の最大化と同じである。微分すると $$\displaystyle F'(x)=\frac{2x^3(2-2x^2-x)}{(1+x)^2}.$$ $0<x<1$ では $x^3$ と $(1+x)^2$ は正であり、$2-2x^2-x$ は単調減少して、$x=0$ で正、$x=1$ で負である。したがってただ一つの極大点が面積の最大点となる。その条件は $$2-2x^2-x=0.$$両辺に$-1$を掛けると、これと同値な式$$2x^2+x-2=0$$を得る。 二次方程式の根のうち $0<x<1$ を満たすのは $$\displaystyle \boxed{x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}}$$ である。端点に近づくと $S$ は0に近づくため、この値で面積は最大となる。