2大分大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) 1回で裏の枚数は高々1増える。$n$回後に$n$枚が裏になるには，1から5までの異なる目が順に出ることが必要十分である。したがって$$\displaystyle \frac{5\cdot4\cdots(6-n)}{6^n}=\frac{5!}{(5-n)!6^n}.$$ (2) 各硬貨の反転回数が偶数であればよい。反転回数の合計が0なら全て6で1通り，2なら同じ目2回と6が2回で$\displaystyle 5\binom42=30$通り，4なら同じ目4回で5通り，または異なる2種類が2回ずつで$\displaystyle \binom52\binom42=60$通り。したがって$$(1+30+5+60)/6^4=2/27.$$ (3) 1枚の硬貨に着目すると，4回後に裏になるのはその番号が1回または3回出る場合なので，確率は $$\displaystyle \binom41\frac16(\frac56)^3+\binom43(\frac16)^3\frac56=\frac{65}{162}.$$ 裏の枚数は5枚それぞれについて裏なら1，表なら0を足したものである。平均も足せるから，求める値は$$\displaystyle \sum\limits _{t=1}^4tP(t)=5\cdot65/162=325/162.$$