9愛媛大学 2019年 数学 第9問解答・解説

（医学部）

1辺の長さが1の立方体がある。立方体の頂点 $P,Q$ に対し，線分 $PQ$ の長さが1であるとき，$Q$ を $P$ と隣接する頂点という。

立方体上に，次の規則に従って位置が決まる点が1つある。その点を動点とよぶことにする。

① 時刻 $t=0$ において，動点は立方体のある頂点にいる。その頂点を $O$ で表す。

② $n$ を0以上の整数とする。時刻 $t=n+1$ において，動点は時刻 $t=n$ のときにいた頂点 $P$ に $\displaystyle \frac{1}{4}$ の確率で留まるか，もしくは $P$ と隣接する3つの頂点のいずれかへそれぞれ $\displaystyle \frac{1}{4}$ の確率で移る。次の問いに答えよ。

(1) 時刻 $t=2$ において動点が $O$ と隣接する頂点にいる確率を求めよ。

(2) 時刻 $t=3$ において動点が $O$ と隣接する頂点にいる確率を求めよ。

(3) 時刻 $t=4$ において動点が $O$ と隣接する頂点にいる確率を求めよ。

(4) 時刻 $t=5$ において動点が $O$ と隣接する頂点にいる確率を求めよ。