3佐賀大学 2022年 数学 第3問解答・解説

関数を微分すると $$f'(x)=-2xe^{-x^2},\qquad f''(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}.$$

(1) $e^{-x^2}>0$ だから、$f''(a)=0$ は $4a^2-2=0$ と同値である。$a>0$ より $$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

$f''(x)$ の符号は $4x^2-2$ の符号と一致する。したがって $x<-1/\sqrt{2}$ または $x>1/\sqrt{2}$ では $f''(x)>0$ なので下に凸、$-1/\sqrt{2}<x<1/\sqrt{2}$ では $f''(x)<0$ なので上に凸である。$x=\pm1/\sqrt{2}$ の前後で符号が変わり、$f(\pm1/\sqrt{2})=e^{-1/2}$ だから、変曲点は $$\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},e^{-1/2}\right),\qquad \left(\frac{1}{\sqrt{2}},e^{-1/2}\right)$$ である。

(2) 直線 $y=f(a)=e^{-1/2}$ と曲線の交点は、$e^{-x^2}=e^{-1/2}$ より $x=\pm a$ である。$-a<x<a$ では曲線が直線より上にある。領域は $y$ 軸対称なので、回転後の立体を求めるには $0\le x\le a$ の部分だけを考えればよい。半径 $x$、高さ $e^{-x^2}-e^{-1/2}$ の円筒殻を積み重ねると、 $$\displaystyle \begin{aligned} V&=2\pi\int_0^a x\left(e^{-x^2}-e^{-1/2}\right)\,dx\\ &=2\pi\left[\frac{1-e^{-a^2}}{2}-\frac{a^2e^{-1/2}}{2}\right]\\ &=\pi\left[1-(1+a^2)e^{-a^2}\right]\\ &=\pi\left(1-\frac{3}{2}e^{-1/2}\right). \end{aligned}$$

検算として、$e^{-1/2}\le y\le1$ における回転断面は半径 $\sqrt{-\log y}$ の円盤である。したがって $$\displaystyle V=\pi\int_{e^{-1/2}}^1(-\log y)\,dy=\pi\left(1-\frac{3}{2}e^{-1/2}\right),$$ となり、同じ値を得る。