4佐賀大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) 点 $A$ と $B$ が異なるため $z\ne1$ である。このとき $$AB=|z-1|,\qquad BC=|z^2-z|=|z|\,|z-1|,\qquad CA=|z^2-1|=|z-1|\,|z+1|.$$ 正三角形なら $AB=BC=CA$ だから、$|z-1|>0$ に注意して $$|z|=1,\qquad |z+1|=1$$ を得る。$z=x+yi$ とおくと $$x^2+y^2=1,\qquad (x+1)^2+y^2=1$$ なので、差をとって $\displaystyle x=-\frac12$、さらに $\displaystyle y=\pm\frac{\sqrt3}{2}$ となる。逆にこの二つの値では $|z|=|z+1|=1$ かつ $z\ne1$ なので、上の三辺の長さはすべて等しい。よって $$\displaystyle z=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\qquad z=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

(2) 複素数 $u,v$ が表す平面ベクトルの内積は $\operatorname{Re}(u\overline v)$ である。$x=\operatorname{Re}z$ とおき、各頂点で直角となる条件を調べる。

点 $A$ で直角となる条件は $$\operatorname{Re}\bigl((z-1)\overline{(z^2-1)}\bigr) =|z-1|^2(x+1)=0.$$ 三角形では $z\ne1$ なので $x=-1$ である。この直線上で点が重なるのは $z=-1$（$A=C$）だけだから、$z=-1$ を除く。

点 $B$ で直角となる条件は $$\operatorname{Re}\bigl((1-z)\overline{(z^2-z)}\bigr) =-|z-1|^2x=0.$$ したがって $x=0$ である。この直線上で点が重なるのは $z=0$（$B=C$）だけだから、$z=0$ を除く。

点 $C$ で直角となる条件は $$\operatorname{Re}\bigl((1-z^2)\overline{(z-z^2)}\bigr) =|1-z|^2\bigl(|z|^2+x\bigr)=0.$$ 三角形では $z\ne1$ だから $|z|^2+x=0$、すなわち $$\displaystyle x^2+y^2+x=0 \quad\text{すなわち}\quad \left|z+\frac12\right|=\frac12.$$ この円周上で点が重なるのは $z=0$（$B=C$）または $z=-1$（$A=C$）なので、この二点を除く。

以上より、求める図形は直線 $\operatorname{Re}z=-1$ から $z=-1$ を除いたもの、直線 $\operatorname{Re}z=0$ から $z=0$ を除いたもの、および中心 $\displaystyle -\frac12$、半径 $\displaystyle \frac12$ の円周から $z=-1,0$ を除いたものの和集合である。図では実軸上の $z=-1$ と $z=0$ を白丸にする。

2本の青い直線と橙色の円が軌跡であり、白抜きの2点0と−1は含まない。直線は上下の枠外まで続く。