(1) O D ⃗ = λ a ⃗ とおく。 c ⃗ ⋅ ( O D ⃗ − c ⃗ ) = 0 より λ cos α = 1 , したがって C D → = sec α a ⃗ − c ⃗ . 同様に C E → = sec β b ⃗ − c ⃗ . (2) ∣ C D ∣ = tan α , ∣ C E ∣ = tan β , C D ⃗ ⋅ C E ⃗ = sec α sec β cos γ − 1. ∴ cos θ = cos γ − cos α cos β sin α sin β . (3) a ⃗ = cos α c ⃗ + sin α u ⃗ , b ⃗ = cos β c ⃗ + sin β v ⃗ , u ⃗ ⊥ c ⃗ , v ⃗ ⊥ c ⃗ , ∣ u ⃗ ∣ = ∣ v ⃗ ∣ = 1. cos γ = a ⃗ ⋅ b ⃗ = cos α cos β + sin α sin β ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) だから条件から u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0. 座標を c ⃗ = ( 0 , 0 , 1 ) , u ⃗ = ( 1 , 0 , 0 ) , v ⃗ = ( 0 , 1 , 0 ) と選ぶ。 β = π 2 − α なので D = ( tan α , 0 , 1 ) , E = ( 0 , cot α , 1 ) . 平面 D O E : − cot α x − tan α y + z = 0. よって C P = 1 cot 2 α + tan 2 α + 1 = sin α cos α 1 − sin 2 α cos 2 α = 1 tan γ . したがって C P = 1 / tan γ . \displaystyle \text{(1) }\vec{OD}=\lambda\vec a\text{ とおく。}\vec c\cdot(\vec{OD}-\vec c)=0\text{ より }\lambda\cos\alpha=1,\text{ したがって}
\boxed{\overrightarrow{CD}=\sec\alpha\,\vec a-\vec c}.\text{ 同様に }\boxed{\overrightarrow{CE}=\sec\beta\,\vec b-\vec c}.
\text{(2) }|CD|=\tan\alpha,\quad|CE|=\tan\beta,\quad\vec{CD}\cdot\vec{CE}=\sec\alpha\sec\beta\cos\gamma-1.
\therefore\quad\boxed{\cos\theta=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}}.
\text{(3) }\vec a=\cos\alpha\vec c+\sin\alpha\vec u,\quad\vec b=\cos\beta\vec c+\sin\beta\vec v,\quad\vec u\perp\vec c,\ \vec v\perp\vec c,\ |\vec u|=|\vec v|=1.
\cos\gamma=\vec a\cdot\vec b=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta(\vec u\cdot\vec v)\text{ だから条件から }\vec u\cdot\vec v=0.
\text{座標を }\vec c=(0,0,1),\vec u=(1,0,0),\vec v=(0,1,0)\text{ と選ぶ。}\beta=\frac\pi2-\alpha\text{ なので}
D=(\tan\alpha,0,1),\qquad E=(0,\cot\alpha,1).
\text{平面 }DOE:\ -\cot\alpha\,x-\tan\alpha\,y+z=0.\text{ よって}
CP=\frac1{\sqrt{\cot^2\alpha+\tan^2\alpha+1}}=\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha\cos^2\alpha}}=\frac1{\tan\gamma}.
\text{したがって }\boxed{CP=1/\tan\gamma}. (1) O D = λ a とおく。 c ⋅ ( O D − c ) = 0 より λ cos α = 1 , したがって C D = sec α a − c . 同様に C E = sec β b − c . (2) ∣ C D ∣ = tan α , ∣ C E ∣ = tan β , C D ⋅ C E = sec α sec β cos γ − 1. ∴ cos θ = sin α sin β cos γ − cos α cos β . (3) a = cos α c + sin α u , b = cos β c + sin β v , u ⊥ c , v ⊥ c , ∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 1. cos γ = a ⋅ b = cos α cos β + sin α sin β ( u ⋅ v ) だから条件から u ⋅ v = 0. 座標を c = ( 0 , 0 , 1 ) , u = ( 1 , 0 , 0 ) , v = ( 0 , 1 , 0 ) と選ぶ。 β = 2 π − α なので D = ( tan α , 0 , 1 ) , E = ( 0 , cot α , 1 ) . 平面 D O E : − cot α x − tan α y + z = 0. よって C P = cot 2 α + tan 2 α + 1 1 = 1 − sin 2 α cos 2 α sin α cos α = tan γ 1 . したがって C P = 1/ tan γ .
|c|=1で、DはOAの延長上にあり、CD⊥OCよりc・(OD−c)=0。OD=λaとおくとλcosα=1、従ってOD=secα a、CD=secα a−c。同様にCE=secβ b−c。(2)ではCD・CE=secαsecβcosγ−1、∣ C D ∣ = tan α , ∣ C E ∣ = tan β |CD|=\tan\alpha,\ |CE|=\tan\beta ∣ C D ∣ = tan α , ∣ C E ∣ = tan β cos θ = cos γ − cos α cos β sin α sin β \displaystyle \cos\theta=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} cos θ = sin α sin β cos γ − cos α cos β a ⃗ = cos α c ⃗ + sin α u ⃗ \vec a=\cos\alpha\,\vec c+\sin\alpha\,\vec u a = cos α c + sin α u b ⃗ = cos β c ⃗ + sin β v ⃗ \vec b=\cos\beta\,\vec c+\sin\beta\,\vec v b = cos β c + sin β v u ⃗ , v ⃗ \vec u,\vec v u , v c ⃗ \vec c c cos γ = cos α cos β \cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta cos γ = cos α cos β u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \vec u\cdot\vec v=0 u ⋅ v = 0 c ⃗ = ( 0 , 0 , 1 ) , u ⃗ = ( 1 , 0 , 0 ) , v ⃗ = ( 0 , 1 , 0 ) \vec c=(0,0,1),\ \vec u=(1,0,0),\ \vec v=(0,1,0) c = ( 0 , 0 , 1 ) , u = ( 1 , 0 , 0 ) , v = ( 0 , 1 , 0 ) β = π 2 − α \displaystyle \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha β = 2 π − α D = ( tan α , 0 , 1 ) , E = ( 0 , cot α , 1 ) D=(\tan\alpha,0,1),\ E=(0,\cot\alpha,1) D = ( tan α , 0 , 1 ) , E = ( 0 , cot α , 1 ) − cot α x − tan α y + z = 0 -\cot\alpha\,x-\tan\alpha\,y+z=0 − cot α x − tan α y + z = 0 1 cot 2 α + tan 2 α + 1 = sin α cos α 1 − sin 2 α cos 2 α \displaystyle \frac{1}{\sqrt{\cot^2\alpha+\tan^2\alpha+1}}=\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha\cos^2\alpha}} cot 2 α + tan 2 α + 1 1 = 1 − sin 2 α cos 2 α sin α cos α sin γ = 1 − sin 2 α cos 2 α \sin\gamma=\sqrt{1-\sin^2\alpha\cos^2\alpha} sin γ = 1 − sin 2 α cos 2 α 1 tan γ \displaystyle \frac{1}{\tan\gamma} tan γ 1
