弘前大学 2024年数学第1問解答・解説

図形と計量三角関数ベクトル

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1問題

弘前大学2024年度第1問

三角形 ABC において, $|\overrightarrow{AB}| = 4$ , $|\overrightarrow{AC}| = 8$ , $\angle BAC = 15^{\circ}$ とする。

また、三角形 ABC を含む平面上の点 P および実数 s は

$\displaystyle (3 - 6 s) \overrightarrow {\mathrm{PA}} + 2 s \overrightarrow {\mathrm{PB}} + 4 s \overrightarrow {\mathrm{PC}} = \vec {0}, \quad 0 < s < \frac {1}{2}$

を満たすとする。次の問いに答えよ。

(1) 三角形 ABC の面積を求めよ。

(2) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ および s を用いて表せ。

(3) 三角形 PBC の面積が $\sqrt{2}$ 以下となるような s の値の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad 4(\sqrt6-\sqrt2)\quad$ . (2) $\displaystyle \quad \overrightarrow{AP}=\frac{2s}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4s}{3}\overrightarrow{AC}\quad$ . (3) $\displaystyle \quad \frac{7-\sqrt3}{16}\le s<\frac12\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot4\cdot8\sin15^\circ=4(\sqrt6-\sqrt2)$ .

(2) 与えられた式に $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}$ を代入すると $3\overrightarrow{PA}+2s\overrightarrow{AB}+4s\overrightarrow{AC}=0$ 。したがって $\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{2s}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4s}{3}\overrightarrow{AC}$ 。

(3) $\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC}$ とすると $Q$ は線分 $BC$ 上にあり、 $\overrightarrow{AP}=2s\overrightarrow{AQ}$ 。ゆえに $[PBC]=(1-2s)[ABC]$ 。条件は $\displaystyle 1-2s\le\frac{\sqrt3+1}{8}$ だから $\displaystyle \frac{7-\sqrt3}{16}\le s<\frac12$ 。

面積公式、ベクトル条件の整理、BC上の補助点Qを用いた高さの比で確認。

この問題で使う考え方

正弦を用いた三角形の面積
位置ベクトルの整理
同じ底辺に対する高さの比

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