2弘前大学 2024年 数学 第2問解答・解説

各回が独立な公平な硬貨投げという通常の確率モデルを用いる。表の回数を$H$とすると、12回後の進みは $5H-5(12-H)=10(H-6)$ 分。 (1) 60分進むには$H=12$が必要なので、$\displaystyle \frac1{2^{12}}=\frac1{4096}$。 (2) 元の時刻に戻るのは$H=6$なので、 $$\displaystyle \frac{\binom{12}{6}}{2^{12}}=\frac{924}{4096}=\frac{231}{1024}.$$ (3) 時計が6時より後、7時より前となるには$H=7,8,9,10,11$。従って $$\displaystyle \frac{\sum\limits _{k=7}^{11}\binom{12}{k}}{2^{12}}=\frac{792+495+220+66+12}{4096}=\frac{1585}{4096}.$$

表裏各$1/2$で独立な12回の硬貨投げとし、時計の変化を表の回数$H$で表した。時刻条件を$H$の整数条件へ直し、二項係数で数えた。