4名古屋大学 2024年 数学 第4問解答・解説

復元抽出なので、赤玉の回数を $X$ とすると $X$ は成功確率 $p$、試行回数 $n$ の二項分布に従い、$f(k)=\Pr(X\ge k)$ である。

(1) $X=0$ の確率は $(1-p)^n$、$X=1$ の確率は $np(1-p)^{n-1}$ だから、 $$f(1)=1-(1-p)^n,\qquad f(2)=1-(1-p)^n-np(1-p)^{n-1}.$$

(2) $\displaystyle T_k(p)=\sum\limits _{j=k}^{n}\binom nj p^j(1-p)^{n-j}$ とおく。$\displaystyle j\binom nj=n\binom{n-1}{j-1}$、$\displaystyle (n-j)\binom nj=n\binom{n-1}{j}$ を使って微分すると、隣り合う項が相殺され、 $$\displaystyle T_k'(p)=n\binom{n-1}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}.$$ また $T_k(0)=0$ である。したがって $0$ から $p$ まで積分して、 $$\displaystyle f(k)=T_k(p)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_0^p x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx.$$

(3) 被積分関数は $x\mapsto1-x$ で対称だから、 $$\displaystyle I=\frac12\int_0^1x^k(1-x)^k\,dx.$$ 右辺の積分を $J_k$ とおく。部分積分を繰り返すと $$\displaystyle J_k=\frac{k}{k+1}\int_0^1x^{k-1}(1-x)^{k+1}\,dx=\frac{k!}{(k+1)(k+2)\cdots(2k)}\int_0^1(1-x)^{2k}\,dx=\frac{(k!)^2}{(2k+1)!}.$$ よって $\displaystyle I=\frac{(k!)^2}{2(2k+1)!}$。

復元抽出の赤玉回数を $X$ とすると $X\sim\operatorname{Bin}(n,p)$。二項確率の上側和を微分すると隣接項が相殺するため、$f(k)$ の積分表示が得られる。最後の積分は対称性で全区間の半分となり、部分積分の反復で階乗の式に帰着する。