2東北大学 2014年 数学 第2問解答・解説

$h=\sqrt6$ とおく。平行六面体の頂点は $$B=A+C=(2,3,0),\quad E=A+D=(1,0,h),\quad G=C+D=(-1,3,h)$$ である。また $$\displaystyle M=\left(2,\frac32,0\right).$$

(1) $N$ を $DG$ 上の点 $N=D+s(G-D)=(-1,3s,h)$（$0\le s\le1$）とおくと、 $$\displaystyle MN^2=9+\left(3s-\frac32\right)^2+6=16.$$ よって $\displaystyle 3s-\frac32=\pm1$、すなわち $\displaystyle s=\frac16$ または $\displaystyle \frac56$。さらに $DN=3s$、$GN=3(1-s)$ であり、$DN<GN$ より $\displaystyle s<\frac12$。したがって $$\displaystyle N=\left(-1,\frac12,h\right)=\left(-1,\frac12,\sqrt6\right).$$

(2) 平面 $EMN$ を $\alpha x+\beta y+\gamma z=\delta$ とおく。$E,M,N$ を代入して係数を比べると、$\beta=4\alpha,\ \gamma h=7\alpha$。$\alpha=h$ と選べば平面の方程式は $$hx+4hy+7z=8h.$$ $y$ 軸上では $x=z=0$ だから、交点は $$P=(0,2,0).$$

(3) $X=sA+tC+uD\ (0\le s,t,u\le1)$ と表すと、$(x,y,z)=(2s-u,3t,hu)$。平面の式は $$s+6t+3u=4.$$ $0\le s,u\le1$ に対して $t=(4-s-3u)/6$ は常に $0\le t\le2/3$ となるので、切り口は $(s,u)$ の単位正方形全体の像であり、頂点 $P,M,E,N$ をもつ平行四辺形である。その隣り合う辺のベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{PM}=\left(2,-\frac12,0\right),\qquad \overrightarrow{PN}=\left(-1,-\frac32,h\right).$$ 平行四辺形の面積 $S$ は、内積と $S=|\overrightarrow{PM}||\overrightarrow{PN}|\sin\theta$ から $$\displaystyle \begin{aligned} S^2 &=|\overrightarrow{PM}|^2|\overrightarrow{PN}|^2 -(\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN})^2\\ &=\frac{17}{4}\cdot\frac{37}{4}-\left(-\frac54\right)^2 =\frac{151}{4}. \end{aligned}$$ ゆえに $\displaystyle S=\frac{\sqrt{151}}2$。