5東北大学 2014年 数学 第5問解答・解説

(1) $I_0$ では被積分関数は $\cos x/\sin x$ である。$u=\sin x$ と置換すると $du=\cos x\,dx$ となる。また区間上で $\sin x>0$ だから $$\displaystyle I_0=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x}\,dx =\left[\log(\sin x)\right]_{\pi/4}^{\pi/2} =\log1-\log\frac{\sqrt2}{2}=\frac12\log2.$$

(2) $n$ を正の整数とする。加法定理から $$\cos((2n+1)x)-\cos((2n-1)x)=-2\sin(2nx)\sin x$$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} I_n-I_{n-1} &=-2\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin(2nx)\,dx\\ &=\left[\frac{\cos(2nx)}{n}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} =\frac{\cos(n\pi)-\cos(n\pi/2)}{n} =\frac{(-1)^n-\cos(n\pi/2)}{n}. \end{aligned}$$

(3) (2)を $n=1,2,3,4,5$ に適用すると $$\displaystyle I_1-I_0=-1,\quad I_2-I_1=1,\quad I_3-I_2=-\frac13,\quad I_4-I_3=0,\quad I_5-I_4=-\frac15.$$ よって $$\displaystyle I_5=I_0+\sum\limits _{n=1}^{5}(I_n-I_{n-1}) =\frac12\log2-1+1-\frac13+0-\frac15 =\frac12\log2-\frac8{15}.$$