5信州大学 2014年 数学 第5問解答・解説

積分で定まる定数を $$\displaystyle C=\int_0^{\pi/a}f(t)\cos(at)\,dt,\qquad S=\int_0^{\pi/a}f(t)\sin(at)\,dt$$ とおく。加法定理より $$f(x)=1+C\cos(2ax)+S\sin(2ax).$$ この式を積分の中の f(t) に代入する。u=at とおけば $$\displaystyle \int_0^{\pi/a}\sin(2at)\cos(at)\,dt =\frac1a\int_0^\pi\sin(2u)\cos u\,du=\frac{4}{3a},$$ $$\displaystyle \int_0^{\pi/a}\cos(2at)\sin(at)\,dt =\frac1a\int_0^\pi\cos(2u)\sin u\,du=-\frac{2}{3a}.$$ また、$\displaystyle \int_0^\pi\cos u\,du=0$、$\displaystyle \int_0^\pi\sin u\,du=2$、$\displaystyle \int_0^\pi\cos(2u)\cos u\,du=\int_0^\pi\sin(2u)\sin u\,du=0$ なので、 $$\displaystyle C=\frac{4S}{3a},\qquad S=\frac2a-\frac{2C}{3a}.$$ 第1式を第2式に代入すると $$(9a^2+8)S=18a,$$ 従って $$\displaystyle S=\frac{18a}{9a^2+8},\qquad C=\frac{24}{9a^2+8}.$$ ゆえに $$\displaystyle f(x)=1+\frac{24}{9a^2+8}\cos(2ax)+\frac{18a}{9a^2+8}\sin(2ax).$$ $9a^2+8>0$ で連立方程式の解は一意である。この C,S を元の定義に戻すと同じ値が得られるため、この関数は実際に元の関係式を満たす。