2富山大学 2016年 数学 第2問解答・解説

$x=\sin t$ と置くと、$0\le t\le\pi/3$ で $dx=\cos t\,dt$。したがって $$\displaystyle \int_0^{\sqrt3/2}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\int_0^{\pi/3}\sin^2t\,dt =\left[\frac t2-\frac{\sin2t}{4}\right]_0^{\pi/3} =\frac\pi6-\frac{\sqrt3}{8}.$$ $n\ge3$、$0<x\le\sqrt3/2<1$ では $x^n<x^2$ かつ $\sqrt{1-x^n}>\sqrt{1-x^2}>0$ なので $$\displaystyle 0<\frac{x^n}{\sqrt{1-x^n}}<\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}.$$ 積分して、求める積分は $\pi/6-\sqrt3/8<\pi/6$ より小さい。