7信州大学 2014年 数学 第7問解答・解説

解説

両分母は常に正なので、両辺を掛けても不等号の向きは変わりません。差を取ると、$a-1$ と二次式 $$(2a-1)x^2-2axy+(a-1)y^2$$ の和になります。$x=y=0$ を代入して $a\ge1$ が必要です。この範囲では $2a-1>0$ なので、二次式を $x$ について平方完成できます。残る $y^2$ の係数は $(a^2-3a+1)/(2a-1)$ です。

従って全ての $x,y$ で非負となる条件は $a^2-3a+1\ge0$ です。二次方程式の根は $(3\pm\sqrt5)/2$ であり、$a\ge1$ と合わせれば大きい方の根以上となります。大きい方の根では平方項の残りが0でも、全体は非負なので端点を含みます。

原文は固定された2014年PDFの14ページで確認し、OCR本文と照合しました。凍結run manifestと親提示input hashが一致し、PDF・OCR hashも照合済みです。条件不足はありません。独立V確認前の作者答案です。

必要性も確認できます。$a^2-3a+1<0$ なら $x=ay/(2a-1)$ を選ぶと平方項が消え、残る$y^2$係数が負なので、十分大きい$|y|$で元の不等式が破れます。係数が0以上の場合は平方項・定数項とも非負です。