信州大学 2014年数学第3問解答・解説

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1問題

信州大学2014年度第3問

3個の玉が横に一列に並んでいる。コインを1回投げて，それが表であれば，そのときに中央にある玉とその左にある玉とを入れ替える。また，それが裏であれば，そのときに中央にある玉とその右にある玉とを入れ替える。この操作を繰り返す。

(1) 最初に中央にあったものが n 回後に中央にある確率を求めよ。

(2) 最初に右端にあったものが n 回後に右端にある確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

解説

玉の位置は中央か端です。中央にある玉は次の一回で必ず端へ移り、端にある玉はコインの表裏のどちらか一方で中央へ移ります。これが各確率の漸化式になります。

最初中央の玉では、中央にいる確率 $p_n$ だけで次の中央確率が決まります。平衡値 $1/3$ との差は符号を反転しながら半分になるため、(1) の式が得られます。

最初右端の玉では、右端確率だけでは次の値が決まらないので中央確率 $c_n$ も置きます。2ステップ分の漸化式にまとめると、偶数番目と奇数番目がそれぞれ公比 $1/4$ の等比数列になり、答えが出ます。

この問題で使う考え方

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