4東北大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1) 二項定理を用い、奇数次の $i$ の項だけを残すと $$\displaystyle P(x)=\binom71x^6+\binom73i^2x^4+\binom75i^4x^2+i^6 =7x^6-35x^4+21x^2-1.$$ したがって $$(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(0,7,0,-35,0,21,0,-1).$$

(2) $0<\theta<\pi$ だから $\sin\theta\ne0$ であり、 $$\displaystyle \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\pm i =\frac{\cos\theta\pm i\sin\theta}{\sin\theta}.$$ ド・モアブルの定理より $$\displaystyle \left(\frac{\cos\theta\pm i\sin\theta}{\sin\theta}\right)^7 =\frac{\cos7\theta\pm i\sin7\theta}{\sin^7\theta}.$$ これを $P$ の定義に代入すると $$\displaystyle P\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right) =\frac{(\cos7\theta+i\sin7\theta)-(\cos7\theta-i\sin7\theta)} {2i\sin^7\theta} =\frac{\sin7\theta}{\sin^7\theta}.$$

(3) (1)より $$P(x)=Q(x^2),\qquad Q(x)=7x^3-35x^2+21x-1.$$ $\theta=\pi/7$、$k=1,2,3$ とすると $0<k\theta<\pi$ なので、(2)から $$\displaystyle Q(x_k)=Q\left(\frac{\cos^2k\theta}{\sin^2k\theta}\right) =P\left(\frac{\cos k\theta}{\sin k\theta}\right) =\frac{\sin(k\pi)}{\sin^7(k\pi/7)}=0.$$ さらに $0<\pi/7<2\pi/7<3\pi/7<\pi/2$ であり、$\cot t>0$ かつ $\cot t$ は $0<t<\pi/2$ で単調減少するから、$x_1,x_2,x_3$ は相異なる。これらは三次方程式 $Q(x)=0$ の3根である。解と係数の関係より $$\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\frac{-35}{7}=5.$$